🌿

الأحداث المستقلة وغير المستقلة

شرح منظم من كتاب الوزارة — ارتباط، احتمال، وتوزيعات

إحصاء · الوحدة الثانية: الاحتمال الشرطي والأحداث المستقلة · الوحدة 2

شرح منظم من كتاب الوزارة — ارتباط، احتمال، وتوزيعات

📖 الدرس 2

⏱ ~45 دقيقة

📚 كتاب الوزارة

📝

تركيز الامتحان

📝

تركيز الامتحان

جدول بيانات + تفسير — اقرأ السؤال مرتين — حدد «الخاتمة المندقة» · مثال: الأحداث المستقلة وغير المستقلة
حل تدريب الكتاب — راجع «العلامة المندقة» · مثال: حاول أن تحل

⚡

محتوى الدرس

⚡

محتوى الدرس

١

الأحداث المستقلة Independent Events

📐

Independent Events

📐

Independent Events

🔬

محتوى الدرس

🔬

محتوى الدرس

💡

محتوى الدرس

💡

محتوى الدرس

🎯

محتوى الدرس

🎯

محتوى الدرس

- فإن ل(ب) = 1{4 ل (أ) ب (ب) = ح (أ) ب (ب) احتمال ظهور صورة و العدد ٥ هو 1{14 ### ملاحظة:

١

نجاح الطالب في الامتحان العملي للفيزياء يؤثر في نجاحه في مقرر الفيزياء.

٢

عند سحب كرة من كيس دون إعادتها إليه يؤثر في عدد الكرات الموجودة في الكيس، وبالتالي فإن السحبة الأولى تؤثر في السحبة الثانية. ### لذلك فإن الأحداث في المثالين (٤)، (

٣

تعرف بالأحداث غير المستقلة تعلم الحدثان المستقلان تعريف يقال إن الحدثين ١، ب مستقلان إذا وإذا فقط ل (

٤

= ل (ب). أي إن احتمال وقوع حدثين مستقلين معًا يساوي احتمال وقوع الحدث الأول مضروبًا في احتمال وقوع الحدث الثاني. الأدوات المستخدمة كتابة حاسبة علمية. برامج رسومية للحاسب. وَيَلاحظ أنه إذا كان الحدثان أ، ب مستقلين وكان ل(ب) ≠ صفر فإن ل(أ | ب) = ل(أ) أي إن وقوع أحد الحدثين لا يؤثر في احتمال وقوع الحدث الآخر. فمثلاً: أُلقيت قطعة نقود منتظمة مرتين ولوحظ تتابع حدوث الصورة والكتابة، فإن: ف = {(ص، ص)، (ص، ك)، (ك، ص)، (ك، ك)} لذا فإن احتمال أي من تلك النتائج = 1{4 بفرض أن الحدث أ يمثل ظهور الكتابة في المرة الثانية = {(ص، ك)، (ك، ك)} والحدث ب يمثل ظهور الصورة في المرة الأولى = {(ص، ص)، (ص، ك)} أي إن حدوث الحدث ب لم يؤثر على احتمال حدوث الحدث أ بمعنى أن احتمال أ لا يعتمد على معلومية أن الحدث ب، قد وقع لذا نقول إن الحدثين أ، ب مستقلان. لاحظ أن: الحدثين المتنافيين أ، ب يكونان مستقلين إذا و إذا فقط ل(أ) × ل(ب) = صفر بمعنى إذا و إذا فقط كان احتمال أ أو احتمال ب مساويًا صفر. ### مثال ١ في تجربة إلقاء قطعة نقود مرة واحدة ثم إلقاء حجر نرد. ما احتمال ظهور صورة والعدد ٥؟ ### الحل يمكن استخدام الشجرة البيانية لكتابة فضاء العينة: نلاحظ أن إلقاء قطعة النقود لا يؤثر في نواتج العينة لإلقاء حجر النرد، لذلك فإن الحدثين مستقلان. وبفرض أن: أ = حدث ظهور صورة. فإن ل(أ) = 1{4، ب = حدث ظهور العدد

⚡

محتوى الدرس

⚡

محتوى الدرس

١

بين مع ذكر السبب هل أ، ب حدثان مستقلان؟ ### الحل : ل (أ) ب = (ب) ل (أ) + (ب) - ل (أ) ب : ل (أ) ب = ٠,٥ - ٠,٦ + ٠,٥ = ٠,٣ : ل (أ) × ل (ب) = ٠,٦ × ٠,٥ = ٠,٣ من (١)، (

٢

يكون أ، ب حدثين مستقلين. لاحظ أن: لإيضاح الفرق بين الحدثين المتنافيين والمستقلين نأخذ المثال التالي: نعلم أنه عند إلقاء قطعة نقود معدنية منتظمة مرة واحدة فإن فضاء العينة ف = {ص، ك} كما نعلم أن ل (ص) = ١/٣، ل (ك) = ١/٣ ونعلم أيضًا أن الحدثين ص، ك حدثان متنافيان لأن حدوث أحدهما ينفي حدوث الآخر. : ل (ص) ك = صفر، : ل (ص) ك ≠ ل (ص) × ل (ك) أي أنه ص، ك حدثان متنافيان إلا أنهما غير مستقلين. ### حاول أن تحل ٢ إذا كان أ، ب حدثين من فضاء عينة لتجربة عشوائية ف حيث ف = {١، ٢، ٣، ٤، ٥، ٦} وكان أ = {٢، ٣، ٥، ٦، ب = {١، ٤، ٥، ٦} هل أ، ب حدثان مستقلان؟ وضح ذلك. ### مثال ٢ الربط بالتأمين أمّز رجل وزوجته على حياتيهما في إحدى شركات التأمين على الحياة فإذا قدرت الشركة احتمال أن يعيش الرجل أكثر من ٢٠ عامًا هو ٢، واحتمال أن تعيش زوجته أكثر من نفس المدة ٠,٣ أوجد احتمال أن: ١ يعيش الرجل وزوجته معًا أكثر من ٢٠ عامًا. ٢ يعيش أحدهما على الأقل أكثر من ٢٠ عامًا. ٣ يعيش أحدهما فقط أكثر من ٢٠ عامًا. ### الحل نفرض أن: أحدث أن يعيش الرجل أكثر من ٢٠ عامًا ب. ٠,٢ = (أ) ل (ب) ب. حدث أن تعيش الزوجة أكثر من ٢٠ عامًا ل (ب) = ٠,٣ احتمال أن يعيش الرجل وزوجته معًا أكثر من ٢٠ عامًا = (أ) ل (ب) : ل (أ) ب = (ب) ل (أ) × (ب) : ل (أ) ب = ٠,٣ × ٠,٢ = ٠,٦ : ل (أ) ب = ٠,٦ × ٠,٣ = ٠,٣ ### الحل احتمال أن يعيش أحدهما على الأقل أكثر من ٢٠ عامًا : ل (أ) ب = (ب) ل (أ) + (ب) - (ب) ب : ل (أ) ب = ٠,٣ + ٠,٢ − ٠,٦ = ٠,٤٤ - احتمال أن يعيش أحدهما فقط أكثر من ٢٠ عامًا = (

٣

ل (ب) - ل (ب) - (

٤

ل (ب) = ٠.٤٤ - ٠.٠٦ = ٠.٣٨

📐

محتوى الدرس

📐

محتوى الدرس

- - وكان احتمال إصابة ب نفس الهدف ٠.٥ أوجد احتمالات الأحداث الآتية: - إصابة الهدف من الجندي أو الجندي ب معًا. - إصابة الهدف بقذيفة واحدة على الأقل. - إصابة الهدف بقذيفة واحدة فقط. - عدم إصابة الهدف. مثال السحب مع الإحلال: كيس يحتوي على ٦ كرات زرقاء و ٤ كرات حمراء، إذا سُحبت كرة عشوائيًا ثم أُعيدت إلى الكيس، ثم سُحبت كرة ثانية، ما احتمال أن تكون: - الكرتان حمراوين في المرتين؟ - الكرتان زرقاوين في المرتين؟ - الكرة الأولى حمراء والثانية زرقاء؟ - إحداهما حمراء والأخرى زرقاء؟ الحل - طالما أن سحب الكرة مع الإحلال (الإرجاع) فيكون الحدثان مستقلين. وبفرض أن: ف = فضاء العينة، l = سحب الكرة في المرة الأولى، ب = سحب الكرة في المرة الثانية. - ن (ف) = ١٠، ل (ل) = (٤/١٠)، ك (ب) = (٤/ - (لأن السحب مع الإحلال) - = (١/١)، ك (ب) = (١/١٠). - ب نفس الطريق السابقة يكون: - احتمال أن تكون الكرتان زرقاوين في المرتين = (٩/ - احتمال أن تكون الكرة الأولى حمراء والثانية زرقاء = (٦/ - احتمال أن تكون إحداهما حمراء والأخرى زرقاء = احتمال الأولى حمراء والثانية زرقاء + احتمال الأولى - زرقاء والثانية حمراء - ١٢/٢٥ = ٤/١٠ × ٦/١٠ + ٦/١٠ × ٤/١٠ حاول أن تحل - إذا كان احتمال ارتفاع مؤشر سوق الأسهم في الدولة ( - يساوي ٠.٨٤، واحتمال ارتفاع مؤشر سوق الأسهم في الدولة (ب) يساوي ٠.٧٥، ما احتمال أن يرتفع مؤشر سوقي أسهم الدولتين ١، ب؟ تعلّم الأحداث غير المستقلة الجرام يكون ١، ب حدثين غير مستقلين إذا كان: ( - لأننا نعلم من تعريف الاحتمال الشرطي أن: الأحداث المستقلة array{l L (| | u) = L ( u){L (u) بشرط L (u) L (u) | | = L ( u){L () بشرط L (| |) أي إنه يمكن كتابة L (| u) = L (| | u) L (u) = L (u) | | L (| |) بشرط أن L (| |) , L (u) بمعنى أن الحدثين |، ب يكونان غير مستقلين إذا كان احتمال حدوث أحدهما يؤثر بطريقة ما في احتمال حدوث الآخر. ### احتمال الأحداث غير المستقلة ### مثال ☐ إذا كان ف فضاء العينة لتجربة عشوائية حيث ف = {١، ٢، ٣، ٤، ٥، ٦، ٧، ٨ وكان = {١، ٢، ٤، ٨، ب = {٢، ٥، ٦، ٧ هل |، ب مستقلان؟ وضح إجابتك. ### الحل ### حاول أن تحل ☐ إذا كان ج = {٢، ٣، ٤، ٧ هل ب، ج مستقلان؟ وضح اجابتك. ### السحب بدون إحلال ### مثال ☐ كيس يحتوي على ٦ كرات زرقاء و ٤ كرات حمراء، إذا سُحبت كرتان الواحدة وراء الأخرى دون إحلال (دون إرجاع)، ما احتمال أن تكون:

- إذا كانت الكرتان حمراوين فإن: احتمال أن تكون الكرة الأولى حمراء والثانية حمراء = احتمال أن تكون الكرة الأولى حمراء × احتمال أن تكون الكرة الثانية حمراء بعد سحب الكرة الحمراء الأولى 2{10 = 3{4 4{10 = 1 إذا كانت الكرتان زرقاوين فإن: احتمال أن تكون الكرة الأولى زرقاء والثانية زرقاء = 5{10 5{10 = 1{2 احتمال أن تكون الكرة الأولى حمراء والثانية زرقاء =

١

الكرتان حمراوين؟

٢

الكرتان زرقاوين؟ ☐ الكرة الأولى حمراء والثانية زرقاء؟ ### الحل هذا المثال هو نفس مثال (

⚖️

مقارنة سريعة