🌿

المتجهات في الفراغ

شرح منظم من كتاب الوزارة — جبر، هندسة فراغية، تفاضل وتكامل

رياضيات بحتة · الهندسة الفراغية · الوحدة 3

المتجهات في الفراغ

شرح منظم من كتاب الوزارة — جبر، هندسة فراغية، تفاضل وتكامل

📖 الدرس 2

⏱ ~45 دقيقة

📚 كتاب الوزارة

📝

تركيز الامتحان

📝

تركيز الامتحان

مسألة تطبيقية — اقرأ السؤال مرتين — حدد «عملية جمع المتجهات» · مثال: المتجهات في الفراغ
حل تدريب الكتاب — راجع «عملية الضرب» · مثال: حاول أن تحل

⚡

محتوى الدرس

⚡

محتوى الدرس

🔬

تعلم

🔬

تعلم

١

على أنه القطعة المستقيمة الموجهة التي بدايتها نقطة الأصل ونهايتها النقطة أ. - ويرمز لمتجه موضع النقطة أ بالرمز أي أن = (أر، أر، اع). - أc تسمى مركبة المتجه في اتجاه محور س. - أر تسمى مركبة المتجه في اتجاه محور ص. - اع تسمى مركبة المتجه في اتجاه محور ع. ### the norm of vector ### معيار المتجه هو طول القطعة المستقيمة الموجهة التي تمثل المتجه. فإذا كان = (أر، أر، اع) فإن من قانون البعد بين نقطتين يكون $$\overline{11} \uparrow = \overline{11} \uparrow$$ ### مثال

٢

إذا كان = (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,

٣

فإن - مركبة المتجه في اتجاه محور س هي 2 - مركبة المتجه في اتجاه محور ع هي -3 \overline{11} = \overline{2(

٤

+ 2} = \|\uparrow\| 0 = \overline{2(

💡

لمتجه الموضع في الفراغ

💡

لمتجه الموضع في الفراغ

- = (1, 3, 4), فإن: = _0 + _1 = _0 + _1 + _2 + _2 + + _n = (_n, _n) (حُجُج) ### مثال

١

إذا كان = (1, 2, 3, _

٢

أوجد \| \tau \| + \| \tau \| \stackrel{\leftrightarrow}{\sim} Addition 3 D vectors جمع المتجهات في الفراغ إذا كان = (1, 2, 3, _

١

إذا كان = (1, 2, 3, 1, _

٢

= (1, 3, 4), فإن: $$\tau = \tau_0 + (1, 2, 3, 1, 1,

🎯

خاصية الانغلاق: + _0 =

🎯

خاصية الانغلاق: + _0 =

⚡

خاصية الإبدال: + _0 = +

⚡

خاصية الإبدال: + _0 = +

📐

خاصية التجميع: ( + _

📐

خاصية التجميع: ( + _

🔬

العنصر المحايد الجمعي المتجه الصفري: = (1, 2,

🔬

العنصر المحايد الجمعي المتجه الصفري: = (1, 2,

١

هو العنصر المحايد الجمعي في حٌ أي أن: + = +

💡

المعكوس الجمعي: لكل متجه = (1, 2, 3, _

💡

المعكوس الجمعي: لكل متجه = (1, 2, 3, _

١

حٌ يوجد $$\tau = \tau - (1, 2, 3, \tau_

١

+ \tau = \tau$$ Multipliering avector by ascalar ضرب المتجه في عدد حقيقي إذا كان = (1, 2, 3, _

٢

حٌ وكان ك ح فإن: ك = _0 و = (1, 2, 3, _

٣

ك

🎯

محتوى الدرس

🎯

محتوى الدرس

📐

محتوى الدرس

📐

محتوى الدرس

١

أوجد قيمة L، R، L، R، L، R، R، L، R، R ### الحل

🔬

محتوى الدرس

🔬

محتوى الدرس

١

+ + (1 _{1 + 1 _{1 ### حاول أن تحل (

٢

بين أي المتجهات الآتية يمثل متجه وحدة $$\uparrow = \uparrow, \downarrow, \downarrow, \downarrow = \uparrow \quad \uparrow \downarrow = \uparrow, \downarrow, \downarrow$$### متجهات الوحدة الأساسية ( , , ): هي قطع مستقيمة موجهة بدايتها نقطة الأصل، ومعيارها وحدة الأطوال واتجاهها هو الاتجاهات الموجبة لمحاور الإحداثيات س، ص، ع على الترتيب أي إن:$$\uparrow = \uparrow, \downarrow, \downarrow, \downarrow = \uparrow, \downarrow, \downarrow, \downarrow = \uparrow$$ وتسمى مجموعات المتجهات , , مجموعة يمينية من متجهات الوحدة ### الأساسية ### تفكير ناقد عبر عن المتجهات (1-1, 0-1, 0, 0, 0, 0,

٣

بدلالة متجهات الوحدة الأساسية. كتاب الجبر والهندسة الفراغية - الهندسة الفراغية الوحدة الثالثة: الهندسة والقياس في بعدين وثلاثة أبعاد

💡

محتوى الدرس

💡

محتوى الدرس

- 2 - 2 + ( + 2 - 2 ) = 2 + + = 2 + ( + 2 ) = 2 + 2 + = 2 + ( + 2 ) + 2 2 + = 2 {2 + 2 {2 + 2 {2 + 2 {2 (

- 2 - 2 + 1 2 + 1 + 2 + 1 = 2 {2 + 1 2 + 1 + 2 + 2 + 2 + 2 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 1 + 1 + 1 ### حاول أن تحل (

- = (2{20, 1{20, 0{20) = (2-, 1-, 0){9 + 1 + 20 = كتاب الجبر والهندسة الفراغية - الهندسة الفراغية الوحدة الثالثة: الهندسة والقياس في بعدين وثلاثة أبعاد

- أوجد قياسات زوايا الاتجاه للمتجه الحل أولاً نحلل إلى مركبتين: الأولى في اتجاه ومقدارها (1) والثانية تقع في المستوى الإحداثي س ص والثانية في اتجاه ومقدارها المتجهات في الفراغ وبذلك تكون الصورة الكارتنيزية للمتجه T هي &T = أر &T_0 = أر &T_{0,1 + أر &T_{0,2 + أر

١

إذا كان = 2 - 2 + 1 , = - 2 + 2 أوجد

٢

2 + 2 $$\uparrow 2 \downarrow - 2 \downarrow = \uparrow 2 \downarrow$$ المتجهات في الفراغ ### مثال ### ٦ إذا كان أ (١، ٢، ٣،

٣

فإن $$\widehat{\tau} - \widehat{\omega} = \widehat{\omega}$$ (1, 2, ,

١

= $$\widehat{\omega} - \widehat{\tau} = \widehat{\omega}$$$$(1-, 2, 3-) = (2, 0,

⚡

محتوى الدرس

⚡

محتوى الدرس

- ٣، ١، ١ وكان T ٣ ٤ فإن ٤ ٣ ٤ + ٣ ٦ ٤ ٤ ٩ جيوب تمام زوايا الاتجاه للمتجه T = ٢، ١، ٢، ١ هي ١ ١ ١ ٢ ١ ٢ ١ ١٠ إذاً: ١١ ١٢ ١٣ ١٢ إذا كان T = ١٠, ٢٠, ٢٠, ٢٠, ٢٠, ٢٠, ٢٠, ٢٠، ١٣ = ٢٠, ٠, ٦ أوجد كلاً من المتجهات الآتية: ١٤ ١٤ ١٤ ١٤ ١٤ ١٤ ١٤ ١٤ ١٤ ١٤ ١٤ ١ ١٥ إذا كان T = ٢ ٢ ٢ ٢ ٢ ٢ ٢ ٢ ٢ ٢ ٢ ١ ١٦ أوجد معيار كل من المتجهات الآتية: ١٧ ١٧ ١٧ ١٧ ١٧ ١٧ ١٧ ١ ١٧ ١٧ ١٧ ١٧ ١ ١٨ إذا كان متجهها: ١٨ ١٨ ١٨ ١٨ ١٨ ١٨ ١٧ ١٨

📐

التوسع القائم

📐

التوسع القائم

🔬

Veckors multiplication

🔬

Veckors multiplication

💡

Scalar product of two vectors (Dot product)

💡

Scalar product of two vectors (Dot product)

- المركبة الجبرية للمتجه في اتجاه المتجه تساوي جتا

- حاصل ضرب معيار المتجه والمركبة الجبرية للمتجه في اتجاه المتجه يساوي جتا و القيمة المطلقة لهذا المقدار تعبر عن مساحة المستطيل الذي بعداه معيار المتجه ومعيار مركبة المتجه في اتجاه المتجه. ### تعلم

١

المركبة الجبرية للمتجه في اتجاه المتجه.

٢

حاصل ضرب معيار المتجه ومركبة المتجه في اتجاه المتجه. ### من بند فكر وناقش نستنتج أن:

🎯

محتوى الدرس

🎯

محتوى الدرس

⚡

محتوى الدرس

⚡

محتوى الدرس

🔬

لتحديد الزاوية بين المتجهين يجب أن يكون المتجهان خارجين (أو داخلين) لنفس النقطة.

🔬

لتحديد الزاوية بين المتجهين يجب أن يكون المتجهان خارجين (أو داخلين) لنفس النقطة.

💡

قياس الزاوية بين المتجهين [, 0]

💡

قياس الزاوية بين المتجهين [, 0]

🎯

محتوى الدرس

🎯

محتوى الدرس

⚡

إذا كانت،، مجموعة يمينية من متجهات الوحدة، فأوجد كل من و ضرب المتجهات

⚡

إذا كانت،، مجموعة يمينية من متجهات الوحدة، فأوجد كل من و ضرب المتجهات

📐

محتوى الدرس

📐

محتوى الدرس

🔬

حل آخر الفقرة ٣ ( ٣ -

🔬

حل آخر الفقرة ٣ ( ٣ -

١

= ١ = ١ = ١ 100 = 1{٣ ٣ ١٠ ١٠ كتاب الجبر والهندسة الفراغية - الهندسة الفراغية الوحدة الثالثة: الهندسة والقياس في بعدين وثلاثة أبعاد

💡

٩ حاول أن تحل

💡

٩ حاول أن تحل

🎯

الضرب القياسى لمنجهين في النظام الإحداثى المتعامد

🎯

الضرب القياسى لمنجهين في النظام الإحداثى المتعامد

⚡

الزاوية بين متجهين

⚡

الزاوية بين متجهين

📐

حالات خاصة:

📐

حالات خاصة:

🔬

تعلم مركبة متجه في اتجاه متجه آخر. إذا كان متجهين، فإن مركبة المتجه في اتجاه (ويرمز لها l_

🔬

تعلم مركبة متجه في اتجاه متجه آخر. إذا كان متجهين، فإن مركبة المتجه في اتجاه (ويرمز لها l_

- هي l_1 = || جتا || = 1{|| = ملحوظة: المركبة الاتجاهية للمتجه في اتجاه يرمز لها بالرمز l_1 حيث l_1 = l_1 1{|| ### مثال

- الحل - = - (2, 2, 1,

١

أوجد مركبة القوة = 2 - 2 + 0 في اتجاه حيث l_1(1, 4, 0, ) = (2, 2,

١

- (2, 2, 1, 1)$$

٢

الشكل المقابل يمثل مكعبًا طول ضلعه 2 وحدة طول أوجد مركبة المتجه على المتجه تفكير ناقد: متى تدم مركبة متجه في اتجاه متجه آخر؟ ٦٨ الصف الثالث الثانوي - ضرب المتجهات تعلم

⚖️

مقارنة سريعة

⚖️

مقارنة سريعة