- l x(m) = x m = x (m) = x m حيث x m = عتيقي ثابت لاحظ أن: m o = x m = m{1 + o حيث o 1، o ثابت اختياري وعلى ذلك (2^m o^2 + 4 m +

- أوجد تفاضلي كل مما يأتي: 1 ص = {1 - ع = {1 س^2 ص = ع ل حيث كل من ع، ل دالة في س ### الحل 1 و ص = y و س , ص = {1 - + 1 1{1 - = 1 + (x - 1)^1 و ص = 1 - {1 - و س و ع = ع و س و ع = {1 س^2 و س = ع و س و ص = (ع ل)' و س = (ع ل) + ل ع) و س = ع ل و س + ل ع و س و ص = ع و ل + ل ع كتاب الطالب - الصف الثالث الثانوي التكامل المحدد وتطبيقاته 8 حاول أن تحل

- أوجد تفاضلي كل من: 1 = y = (2 x + 5)2 = y = هـ تفكير ناقد: إذا كان س² + ص² = ٢٥ أوجد: و ص بدلالة س، ص، و س

- ### الحل ### أ ١ 1 بوضع ع = 2 x^-1 -1 5 و ع ### أ ٢ 2 س 1{2 س س س س س س س س س س س (2 س ٢ - ١ -

- ### أ ١ 1 بوضع ع = 2 x^-1 +1 5 و ع ### أ ٢ 1 بوضع ع = س^2 + 1 5 س س س س س س س س س س س (2 س ٢ - ١ -

- ### الحل ### أ ١ 1 بوضع ع = x + 4 س = ع + 4، و س = ع ع ### أ ١ 1 س (س +

- حاول أن تحل ### ٤ أوجد: ### متكل ### التكامل بالتعويض ### ٥ أوجد: 1 5{2 5{2 1 - 2 x 5 5{2 5{2 1 - 2 x 5 x 5 x 5 ### ١ يوضع ع = ٣ س^٢ - ١ 2 ع = ٦ س 2 س (التعويض) (الكامل والتعويض) 1 يوضع ع = لو x 2 ع = لو 1 س 2 س (بالتعويض) 1 يوضع ع = لو x 1 + 1 1 1 1 x 1 x 1 (بالتكامل والتعويض) 1 حاول أن تحل ### ٥ أوجد: 1 5{2 5{2 5{2 1 - 2 x 5 5{2 5{2 1 - 2 x 1 x x تفكيرنا في باستخدام التكامل بالتعويض أثبت صحة قواعد التكامل التالية: 1 حيث n 1 - 1 حيث ن: 1 حيث n 1 - 1 ### التكامل بالتجزيئ ### Integration by Parts إذا كانت ص، ع د التين في المتغير س وقابلتين للإشتقاق، فإن: و س{و _1 س = و س{و _2 س = و س{و _1 س + و س{و _2 س يتكامل الطرفين بالنسبة إلى س و س{و _1 س = و س{و _2 س = و س{و _1 س + و س{و _2 س كتاب الطالب - الصف الثالث الثانوي التكامل المحدد وتطبيقاته ص ع = ١ ص ع ع + ١ ع ع ص أي أن: ١ ص ع ع = ص ع - ١ ع ع ص تسمى المعادلة السابقة بقاعدة التكامل بالتجزيء، وتستخدم لإيجاد تكامل حاصل ضرب دالتين ليست أحدهما مشتقة للأخرى، ذلك باختيار مناسب لكل من ص، ع بحيث يمكن حساب التكامل بالطرف الأيسر بطريقة أسهل من حساب التكامل بالطرف الأيمن، وتتبع المخطط المقابل كما يتضح من الأمثلة التالية: ### مثال التكامل بالتجزيء ١ أوجد: ١ أ س هـ = ٢ و س ٢ الحل ٢ لإيجاد أ س هـ = ٢ و س: نفرض أن: ص = س، ٢ ع = هـ = ٢ و س.. ٢ ص = ٢ س ٢ ع = ١ هـ = ٢ و س = هـ = ٢ ٣: أ ص ع ع = ص ع - ١ ع ع ص ٤: أ س هـ = ٢ و س = س هـ = ١ - هـ = ٢ و س = س هـ = ٢ - ٢ + ٢ ك = هـ = (١ -

- و س ☑ (لو س + ١/س) و س ### مثال تكامل بالتجزيء ### ٨ أوجد: ١ أ س ١/س² ص ع = س = س ١/س² ص ### الحل 1 لاحظ أن (س + ١)² أسهل في التكامل بوضع ص = س ١/س² ص و ص = (س ١/س² + ه) و س = س ١/س² ص ع = ١/س² ص = س ١/س² ص × ١/س² × ١/س² كتاب الطالب - الصف الثالث الثانوي التكامل المحدد وتطبيقاته = m n{1 + m 1{m = m n{1 + m = 1{m = 1{m = 1{m = 1{m = 1{m = 1{m = 1{m = 1{m بوضع m = 4 س و ع = (2 س + 1)^{1/2 2 س = m n{1 + m 1{m = 1{m = 1{m = 1{m = 1{m = 1{m = 1{m = 1{m = m n{1 + m 1{m 1{2 (2 x + 1)^{1/2 2 2 x = 2 x (2 x + 1)^{1/2 - 1{2 (2 x + 1)^{1/2 + 1 2 x = 2{10 (2 x + 1)^{1/2 (1 + x -

- + 1 2 x = 2{10 (1 + x -

- + 1 2 x 1 حلول أن تحل 4 أوجد: تفكر ناقد: هل يمكنك إيجاد 1/2 m n{1 + m = 1 و 1/2 m بطريقة التكامل بالتعويض؟ فسر إجابتك. بعض تطبيقات التكامل غير المحدد إذا علمنا أن الدالة m تعطي ميل المماس عند أي نقطة على منحنى الدالة x فإنه يمكن أن نعرف الدالة m من عملية التكامل غير المحدد للدالة m حيث: x(m) = 1/m m يلاحظ أن هذا التكامل لا يعطي دالة وحيدة إذ يحتوى على ثابت اختياري يمكن تحديده من البيانات المعطاة. ### مثال 5 ### معادلة منحنى دالة 9 إذا كان ميل المماس لمنحنى الدالة x عند أي نقطة (m, m) واقعة عليه يعطى بالعلاقة m (m) = m n{1 + m = 1 فأوجد معادلة المنحنى إذا كان يمر بالنقطة (1, 2, ). ### الحل بفرض أن معادلة منحنى الدالة هي m = x(m): x(m) = 1/m m m = 1{m 2 x x(m) = 1/m m m = 1{m 2 x = 1{m = 1{m = 1{m [من حل مثال 4 (أ)] منحنى x يمر بالنقطة (1, 2, ) فهى تحقق معادلة 2 m = 1{m m m = 1{2 m كتاب الرياضيات البحتة - التفاضل والتكامل طرق التكامل ### حاول أن تحل ٩ أوجد معادلة المنحنى المار بالنقطة (٠،

- لو x y x n^2 ٣٠ أوجد معادلة المنحنى ص = د (س) إذا كان أ س = س + ب حيث أ، ب ثابتان ولمنحنى نقطة انقلاب عند x x a (x +

- لو x y x n كتاب الطالب - الصف الثالث الثانوي