يكون الجسم المتماسك الواقع تحت تأثير مجموعة من القوى المستوية في حالة اتزان استاتيكي إذا تحقق الشرطان التاليان: (1) أن ينعدم متجه محصلة القوى

المجموعة = (لا توجد حركة انتقائية)

(2) أن ينعدم عزوم القوى بالنسبة لنقطة

وهذه الشروط الكافية واللازمة لاتزان مجموعة من القوى المستوية : يبين مجموعة متجهات الوحدة المتعامدة (, , ) بحيث تقع في مستوى القوى، وبالتالي يكون عموديًا على هذا المستوى. وبذلك يمكن تحليل متجه المحصلة في اتجاه، بينما متجه العزم يوازي متجه الوحدة لذلك فإن: = + , = حيث: = مجموع المركبات الجبرية لقوى المجموعة في اتجاه، = مجموع المركبات الجبرية لقوى المجموعة في اتجاه، = مجموع القياسات الجبرية لعزوم قوى المجموعة في اتجاه. ولذلك فإن الشروط اللازمة والكافية لاتزان مجموعة هذه القوى هو: ☑ = صفر، = صفر، وأيضًا = صف

(٢٠)

يرتكز في وضع أفقي على حاملين ١، ب ويحمل صندوق كتلته ٢٤٠ كجم. أوجد الضغط الواقع على كل حامل.

حيث أن اللوح منتظم فإن وزنه يؤثر في نقطة منتصفها كتلة اللوح = ١٨٠ × ٣٠ كجم ∴ وزن اللوح = ١٨٠ ث كجم رد الفعل عند كل حامل يساوي الضغط عليه مجموع القياسات الجبرية للقوى في الاتجاه العمودي على القضيب = ∴ ١٨٠ × ٣ − ٢٤٠ + ٤ + ١٨٠ − ٣ − ٢٤٠ = ١ مجموع القياسات الجبرية لعزوم القوى حول نقطة ب = صفر

∴ بالتعو يض في (١) تكون ١٧٠ = ث كجم تفكير ناقد: ماذا يحدث لرد الفعل عند كل من أ، ب كلما اقترب الصندوق من نقطة أ

٢) أب قضيب منتظم طوله ٩٠ سم ووزنه ٦٠ نيوتن معلق في وضع أفقي بخيطين رأسيين من طرفيه أ، ب اين يعلق تقل مقداره ١٥٠ نيوتن حتى يكون مقدار الشد عند أ ضعف مقداره الشد عند ب.

نفرض أن الثقل ١٥٠ نيوتن معلق من نقطة تبعد عن أ مسافة س سم وأن الشد عند ب = ش، الشد عند أ = ٢ ش ∴ مجموع القياسات الجبرية للقوى = صفر ∴ ٢ ش + ش − ١٥٠ − ٦٠ = صفر ومنها ش = ٧٠ نيوتن ∴ مجموع القياسات الجبرية لعزوم القوى حول أ يساوي صفر ∴ ١٥٠ × ٣ − ٢٤٠ × ٣ − ٩٠ = ٣ س صفر وبالتعو يض عن ش = ٧٠ ∴ ١٥٠ س = ٣٦٠٠ س = ٢٤ سم

نلاحظ أن أ جـ = ٢٥ سم الساق متزنه تحت تأثير القوى: وزن الساق ٥ ث كجم ويعمل رأسيًا لأسفل. رد فعل الطرف أ على الأرض مركبتة المتعامدتان م, م, م, م. رد فعل الوتد على القضيب م, م ويكون عموديًا على القضيب عند نقطة التماس جـ. وبتطبيق شروط الاتزان وهي: س = ٠، ص = ٠ = ١/٣ = ٠ ∴ ج = ٠ =

ومن معادلتي الاتزان: س = ٠، ص = ٠ =

وبالتعويض عن قيمة م, م في المعادلة (٢) لإيجاد قيمة م.

أب قضيب منتظم وزنه ٢٠ نيوتن وطوله ٦٠ سم، يرتكز بطرفه أ على مستوى أفقي خشن، ويرتكز عند إحدى نقطه جـ على وتد أملس، يعلو ٢٥ سم عن المستوى الأفقي، وكان القضيب على وشك الانزلاق عندما كانت زاوية ميله على الأفقي ٣٠°. أوجد رد فعل الوتد، وكذلك معامل الاحتكاك بين القضيب والمستوى، علمًا بأن الساق تقع في مستوى رأسي. الصفة الثالثة # التزان سلم على مستويين متعامدين أحدهما خشن

السلم متزن تحت تأثير القوى: وزن السلم ٢٠ ث كجم، ويعمل رأسيًا لأسفل عن منتصفه. وزن الفتاة ٦٠ ث كجم ويعمل رأسيًا لأسفل على بعد س من قاعدة السلم. رد فعل الأرض الخشنة على الطرف أ ومركبتيه الرأسية _1 والأفقية _2 و _3. رد فعل الحائط الأملس _4 ويكون عموديًا على الحائط. وبتطبيق شروط الاتزان وهي: س = ٠، ص = ٠، ج = ١ ويفرض أن طول السلم = ل، وأن أقصى مسافة تصعدها الفتاة = س فيكون القضيب على وشك الحركة ∴ _1 = 20 + 30 = 40 ثقل كجم،

كتاب الرياضيات التطبيقية ٣٧ (٨) يوضح دراجة نارية كتلتها ٢٠٠ كجم ووزنها يؤثر في الخط الرأسي المار بمنتصف المسافة بين العجلتين وكانت كتلة راكب الدراجة ٨٤ كجم ووزنه يؤثر في الخط الرأسي الذي يبعد ١ متر خلف العجلة الأمامية أوجد رد فعل الأرض على كل من العجلتين في كل من الحالات الآتية:

(٩) يرتكز قضيب أب طوله ٦٠ سم ووزنه ٤٠٠ ث. جم يؤثر عند نقطة منتصفه على وتد يبعد ٢٠ سم من ا حفظ القضيب أفقيًا في حالة إتزان بواسطة خيط خفيف رأسي يتصل بطرفه ب أوجد:

السلم في مستوى رأسي في وضع يميل فيه على الأفقى بزاوية قياسها ٤٥° بواسطة حبل أفقي يصل الطرف ا بنقطة من المستوى الأفقى رأسيًا أسفل ب. يصعد رجل وزنه ٨٠ ث كجم هذا السلم. أوجد: أولًا: قوة الشد في الحبل عندما يكون الرجل قد قطع ٢/٤ طول السلم. ثانيًا: أقصى قيمة للشد التي يتحملها الحبل علمًا بأنه يكون على وشك الانقطاع عندما يصل الرجل إلى قمة السلم.

يكون السلم في مستوى رأسي عمودي على الحائط، ويميل على الأرض الأفقية بزاوية قياسها ٤٥°. أوجد مقدار أقل قوة أفقية تؤثر عند الطرف ا للسلم؛ لكي تجعلها على وشك الانزلاق بعيدًا عن الحائط علمًا بأن معامل لاحتكاك بين القضيب والأرض ٧٥٠٠٠٠٠٠٠٠٠٠٠٠٠٠٠٠٠٠٠٠٠٠٠٠٠٠٠٠٠٠٠٠٠٠٠٠٠٠٠٠٠٠٠٠٠٠٠٠٠٠٠٠٠٠٠٠٠٠٠٠٠٠٠٠٠٠٠٠٠٠٠٠٠٠٠٠٠٠٠٠٠٠٠٠

خشن أفقي؛ بحيث يصنع السلم مع الأفقى زاوية ظلها ٢/٣ أوجد معامل الاحتكاك بين السلم والمستوى الأفقى عندما يكون على وشك الانزلاق. # اللزحواجات

تناولنا في الوحدات السابقة تحصيل قوتين متوازيتين متضادتين في الاتجاه وذلك بإيدالهما إلى قوتين تتلاقيان في نقطة، ولاحظنا أن ذلك يكون ممكنًا ما دامت الفوتان غير متساويتين، أما إذا كانت الفوتان المتوازيتان متساويتين في المقدار، فإنه لا يمكن الاستعاضة عنهما بفوتين غير متوازيتين، بل تحصل دائمًا على قوتين متوازيتين متساويتين في المقدار ومختلفتين في الاتجاه، وبذلك لا يمكن تحصيل مثل هاتين الفوتين في قوة واحدة. من ذلك نرى أن المجموعة المركبة من قوتين متوازيتين متساويتين في المقدار ومتضادتين في الاتجاه تكون مسمى جديدًا في علم الإستانيكا يعرف بالازدواج، وتنتاول هذه الوحدة مفهوم بالازدواج وتعريفه وحساب عزمه، ثم اتزان جسم متماسك تحت تأثير ازدواجين مستويين، وعزم الازدواج المحصل، وتنتهي الوحدة بدراسة مجموع أي عدد محدود من الازدواجات.

بعد دراسة هذه الوحدة ونتفيد الأنشطة فيها بتوقع من الطالب أن يكون قادرًا على أن:

> 💻 ملاحظة للمعلم: خطوات Excel وSPSS التفصيلية موجودة في كتاب الوزارة — ركّز في الحصة على المفاهيم والمعادلات أعلاه.