🌿

حركة الأجسام المتصلة

شرح منظم من كتاب الوزارة — استاتيكا وديناميكا

رياضيات تطبيقية · الديناميكا · الوحدة 5

شرح منظم من كتاب الوزارة — استاتيكا وديناميكا

📖 الدرس 2

⏱ ~45 دقيقة

📚 كتاب الوزارة

📝

تركيز الامتحان

📝

تركيز الامتحان

مسألة تطبيقية — اقرأ السؤال مرتين — حدد «عملية شاقة للغاية نتيجة» · مثال: حركة الأجسام المتصلة
حل تدريب الكتاب — راجع «Equation of the Motion of a Person» · مثال: أوجد كتلة الجسم، وإذا هبط المصعد بالعجلة نفسها فما مقدار الشد في الخيط؟

⚡

حركة المصاعد - البكرات البسيطة

⚡

حركة المصاعد - البكرات البسيطة

قم مع زميل لك بإحضار ميزان ضغط وضعه في أرضية مصعد، ثم قف على الميزان والمصعد ساكن، ودع زميلك يسجل قراءة الميزان لدى وقوفك على ميزان الضغط، واجعل المصعد يتحرك لأعلى وزميلك يسجل أي تغير يحدث في قراءة الميزان، ثم أوقف المصعد وسجل القراءة مرة أخرى، ثم اجعل المصعد يهبط لأسفل وزميلك يسجل قراءة الميزان عند حدوث أي تغير في القراءة، ثم كرر التجربة بالتبادل مع زميلك. سجل قراءة الميزان حال وقوف كل منكما على الميزان في كل مرحلة من مراحل سكون المصعد أو الحركة لأعلى أو الحركة لأسفل. بماذا تفسر اختلاف قراءة الميزان في كل الحالات؟

عندما نضع جسمًا كتلته ك على مستوى أفقي ساكن، فإن الجسم يؤثر على المستوى بقوة ضغط تساوي في هذه الحالة وزن الجسم، وتنشأ عن ذلك قوة رد فعل للمستوى تؤثر على الجسم وهي تساوي تمامًا ضغط الجسم على المستوى والقوتان متضادتان في الاتجاه، ولكنهما متساويتان في المقدار تمامًا، ويتغير ضغط الجسم على المستوى كلما تحرك المستوى صعودًا أو هبوطًا، ويعرف الضغط في هذه الحالة بالوزن الظاهري.

و تعتبر حركة المصاعد من أشهر تطبيقات الفعل ورد الفعل، عندما يقف شخص كتلته ك داخل مصعد كتلته ك فإن هناك مجموعة من القوى المؤثرة على كل منهما. تطبيقات على قوانين نيوتن للحركة # Forces Acting on the Person Inside the Lift

١

الضغط ورد الفعل.

٢

حركة المصاعد.

٣

البكرات البسيطة.

٤

حركة مجموعة مكونة من

📐

القوى المؤثرة على الشخص داخل المصعد

📐

القوى المؤثرة على الشخص داخل المصعد

يؤثر على الشخص داخل المصعد قوتان.

(ويؤثر رأساً) لأعلى مهما كان اتجاه حركة المصعد).

١

وزن الشخص = ك ع (ويؤثر رأساً) لأسفل مهما كان اتجاه حركة المصعد)

٢

رد فعل المصعد على الشخص = س

🔬

معادلة حركة الشخص:

🔬

معادلة حركة الشخص:

Equation of the Motion of a Person عندما يكون المصعد ساكناً أو متحركاً حركة منتظمة (سرعة ثابتة لأعلى أو لأسفل) فإن ك ع = س عند الحركة لأعلى بعجلة قدرها ج. تكون معادلة حركة الشخص ك ج = س - ك ع عند الحركة لأسفل بعجلة قدرها ج. تكون معادلة حركة الشخص ك ج = ك ع - س

💡

تفكير ناقد:

💡

تفكير ناقد:

ماذا تتوقع أن يكون رد فعل المصعد على الرجل إذا سقط المصعد بعجلة مساوية لعجلة الجاذبية؟

🎯

القوى المؤثرة على المصعد فقط و الشخص بداخله

🎯

القوى المؤثرة على المصعد فقط و الشخص بداخله

Forces Acting on a Lift يؤثر على المصعد ثلاث قوى عندما يكون الشخص بداخله:

(ويؤثر رأساً) لأسفل مهما كان اتجاه حركة المصعد)

(ويؤثر رأساً) لأعلى مهما كان اتجاه حركة المصعد)

١

وزن المصعد فقط = ك ع (ويؤثر رأساً) لأسفل مهما كان اتجاه حركة المصعد)

٢

ضغط الشخص على أرضية المصعد = ض

٣

الشد في الحبل الذي يحمل المصعد = ش

⚡

معادلة حركة المصعد

⚡

معادلة حركة المصعد

Equation of the motion of the lift عند الحركة لأعلى بعجلة قدرها ج. تكون معادلة حركة المصعد ك ج = ش - ض - ك ع عند الحركة لأسفل بعجلة قدرها ج. تكون معادلة حركة المصعد ك ج = ك ع + ض - ش

📐

القوى المؤثرة على المصعد والرجل معًا

📐

القوى المؤثرة على المصعد والرجل معًا

Forces Acting on a both Person and Lift يؤثر على المصعد والرجل معًا قوتان:

(ويؤثر رأساً) لأسفل مهما كان اتجاه حركة المصعد)

(ويؤثر رأساً) لأعلى مهما كان اتجاه حركة المصعد) حركة الأجسام المتصلة ٢ - ٢ ملحوظة: ضغط الرجل على أرضية المصعد يساوى ويضاد رد فعل المصعد على الرجل Equation of the Motion of both Person and Lift معادلة حركة المجموعة: عند الحركة لأعلى بعجلة قدرها جـ تكون معادلة حركة المصعد ( + ) جـ = ش - ( + ) جـ عند الحركة لأسفل بعجلة قدرها جـ تكون معادلة حركة المصعد ( + ) جـ = ( + ) جـ - ش # Spring Scale # Pressure (health) Scale عندما يوقع جسم كتلته ك على ميزان ضغط مثبت في أرضية مصعد، فإن قراءة الميزان تعبر عن ضغط الجسم على الميزان. # ميزان الضغط

ش < ك و , س < ك فإن المصعد يكون صاعدًا لأعلى بعجلة موجبة أو هابطًا لأسفل بعجلة سالبة.

ش < ك و , س < ك فإن المصعد يكون هابطًا لأسفل بعجلة موجبة أو صاعدًا لأعلى بعجلة سالبة.

ش = ك و , س = ك فإن المصعد يكون ساكنًا أو متحركًا بسرعة منتظمة. قراءة ميزان الضغط أو ميزان الزنبرك تسمى الوزن الظاهري. # الخط أن إذا تحرك مصعد لأعلى بعجلة منتظمة وتحرك لأسفل بالعجلة نفسها، فإن قراءة الميزان حال الصعود + قراءة الميزان حال الهبوط = ضعف الوزن الحقيقي. كتاب الرياضيات التطبيقية ٩٧ تطبيقات على قوانين نيوتن للحركة # Balance الميزان المعتاد ذى الكفتين هو الوحيد الذى يقيس الوزن الحقيقى فى كل الظروف والأجواء

🔬

الحل

🔬

الحل

ضغط الرجل على أرض المصعد يساوى فى المقدار رد فعل المصعد على الرجل في الحالات التالية:

١

المصعد يتحرك لأعلى بعجلة قدرها ٤٩ م/ث².

١

المصعد يتحرك بسرعة منتظمة.

١

المصعد يتحرك لأسفل بعجلة منتظمة قدرها ٩٨ م/ث².

💡

مثال محلول

💡

مثال محلول

أوجد كتلة الجسم، وإذا هبط المصعد بالعجلة نفسها فما مقدار الشد في الخيط؟

أولا: المصعد يتحرك لأعلى بعجلة ٢,٤٥ م/ث⁷. معادلة الحركة: ك ج = ش - ك ي ك = ٢,٤٥ × ٥٠ = ٩,٨ × ٥٠ = ٢,٤٥ ك = (٩,٨ + ٢,٤٥) ٤٥ × ٥٠ = ٩,٨ × ٥٠ ثانيا: المصعد يتحرك لأسفل بعجلة ٢,٤٥ م/ث⁷. معادلة الحركة: ك ج = ك ي - ش ش = ٢,٤٥ × ٤٠ = ٩,٨ × ٤٠ = ٢,٤٥

يقف رجل بداخل المصعد، وكان ضغطه على أرضية المصعد يساوى ٧٢ ث كجم. احسب كتلة هذا الرجل، ثم أوجد مقدار ضغطه على أرضية المصعد حال هبوطه بنفس العجلة.

أولا: المصعد يتحرك لأعلى بعجلة ج = ١,٤ م/ث⁷. معادلة الحركة: ك ج = س - ك ي ك = ١,٤ × ٧٢ = ٩,٨ × ٧٢ = ٩,٨ ك = ٦٣ كجم ثانيا: المصعد يتحرك لأسفل بعجلة ج = ١,٤ م/ث⁷. معادلة الحركة: ك ج = ك ي - س س = ١,٤ × ٦٣ = ٩,٨ × ٦٣ = ٦٣ : ٥٢٩,٢ = ٥٢٩,٢ نيوتن : ج = ٥٤ ث كجم كتاب الرياضيات التطبيقية ٩٩ تطبيقات على قوانين نيوتن للحركة

١

غلق جسم بواسطة خيط في ميزان زنبركى مثبت في سقف مصعد يتحرك رأسًا، فإذا كان مقدار الشد في الخيط أثناء الصعود بعجلة منتظمة ٢,٤٥ م/ث⁷ يساوى ٥٠ ث كجم.

١

حاول أن تحل

٢

جسم وزنه الحقيقى ٢٤٠ ث جم مُعلق في سلك ميزان زنبركى مُثبت في سقف مصعد، ووزنه الظاهرى ٢٧٦ ث جم كما يعينه الميزان الزنبركى، بين أن عجلة الحركة المصعد لها قيمتان، فأوجدهما وعين اتجاه الحركة.

🎯

مثال محلول

🎯

مثال محلول

١

جسم معلق في ميزان زبيركي مثبت في سقف مصعد، لوحظ عند تحرك المصعد إلى أعلى بعجلة جـم/ث.٢ أن قراءة الميزان ٨ ث كجم وعندما تحرك المصعد إلى أسفل بعجلة جـم/ث.٢ كانت قراءة الميزان ٥ ث كجم. احسب جـ، وإذا كان الحبل الصلب الذي يحمل المصعد لا يتحمل شدًا أكثر من ١,٢ ث طن، فأوجد أقصى حمولة يمكن أن يحملها المصعد وهو صاعد بالعجلة جـ علمًا بأن كتلة المصعد وهو فارغ تساوي ٦٠٠ كجم.

⚡

الحل

⚡

الحل

أولاً: المصعد يتحرك لأعلى بعجلة جـ معادلة الحركة: ك جـ = ش - ك جـ ك جـ = ٨ × ٨ - ك × ٩,٨ (١) ك جـ = (ك - ٨) - ك ثانياً: المصعد يتحرك لأسفل بعجلة جـ معادلة الحركة ك جـ = ك جـ - ش

(٢) من (١)، (٢) نجد أن

ك - ٥ = ١٦ - ٢٣ ك ٣ ك = ٢١.٠ ك = ٧ كجم من (١) نجد أن

ثالثاً: نفترض أن أقصى حمولة يمكن أن توضع في المصعد كتلتها ك عندئذ يكون الشد في الحبل الذي يحمل المصعد يساوي ١٢٠٠ ث كجم معادلة الحركة: ك جـ = ش - ك جـ (ك + ك) حركة الأجسام المتصلة ٢ - ٢

١ حاول أن تحل

ثانياً: حركة مجموعة مكونة من جسمين يتدليان رأسيًا من طرفى خيط يمر على بكرة ملساء Motion of System of two Bodies Connected by a String Passing Over a Smooth Pully تستخدم البكرات في أغراض عدة منها: تقليل القوة اللازمة لرفع جسم وتسهيل الحركة وتغيير اتجاه القوة، ومنها ما هو ثابت، ومنها ما هو متحرك، وفي هذا الدرس سنتناول نظام بكرات مكون من بكرة واحدة ثابتة. وعندما تكون البكرة صغيرة وملساء يكون الشد على جانبى البكرة متساوٍ. والشكل الآتي يوضح القوى المؤثرة عند رفع حقيبة (جسم) باستخدام البكرة. إذا ربط جسمان كتلتهما ك، ك في طرفى خيط خفيف غير مرن يمر على بكرة صغيرة ملساء، ويتدليان رأسيًا، وكانت ك < ك فإن المجموعة تبدأ الحركة من السكون بعجلة منتظمة قدرها جـ. كتاب الرياضيات التطبيقية ١٠١ تطبيقات على قوانين نيوتن للحركة

📐

معادلات الحركة

📐

معادلات الحركة

بجمع المعادنين بحذف الشد، ومن ثم يمكن حساب عجلة الحركة

وبالتالى من أن من المعادنين نوجد الشد في الخيط ش

🔬

عند قطع الخيط :

🔬

عند قطع الخيط :

إذا قطع الخيط الواصل بين الجسمين بعد زمن ن، فإن كلًا من الجسمين يتحرك في اتجاهه السابق نفسه قبل قطع الخيط مباشرة.

١

الكتلة تـُتحرك لأسفل بسرعة ابتدائية ع (هي نفس السرعة لحظة قطع الخيط) وتحت تأثير عجلة الجاذبية الأرضية.

٢

الكتلة تـُتحرك لأعلى بسرعة ابتدائية ع (هي نفس السرعة لحظة قطع الخيط) إلى أن تصل لسكون لحظي، وذلك تحت تأثير عجلة الجاذبية الأرضية، ثم تسقط سقوطًا حرًا.

💡

الضغط على البكرة :

💡

الضغط على البكرة :

Pressure on a Pulley عند تعليق الكتلتين من طرفى الخيط المار على البكرة يصبح الخيط مشدودًا ونتيجة للشد الحادث في الخيط تتولد قوة ضغط على محور البكرة تساوى محصلة قوتى الشد في الخيط. \dot{\mathbf{ض}} = \dot{\mathbf{0}}

🎯

حالات مشابهة (1)

🎯

حالات مشابهة (1)

في الحالة المرسومة

⚡

عند انفصال الكتلة الإضافية

⚡

عند انفصال الكتلة الإضافية

وإذا انفصلت الكتلة تـُو بعد زمن قدره ن ثانية، فإن المجموعة تتحرك في نفس اتجاهها السابق، ولكن بعجلة تقصيرية إلى أن تسكن لحظيًا، ثم تغير اتجاه حركتها، ولإيجاد عجلة الحركة التقصيرية بعد انفصال الكتلة تـُو نوجد معادلات الحركة

ف = 1{2 ج 10^2

معادلات الحركة O_2 S = O_2 S - ش O_2 S = ش - O_2 S بالجمع نجد أن

array{cc

array{c c

حاول أن تحل غلق جسمان كتلتهما ٢١ جم، ٢٨ جم من طرفى خيط يمر على بكرة صغيرة ملساء، فإذا تحركت المجموعة من السكون، فأوجد عجلة المجموعة ومقدار الشد فى الخيط وسرعة المجموعة بعد ثانيتين من بدء الحركة. مثال جسمان كتلتهما ١٠٥ جم، ٧٠ جم مربوطان فى طرفى خيط خفيف ثابت الطول، يمر على بكرة صغيرة ملساء، ويتدليان رأسيًا، فإذا بدأت المجموعة الحركة من السكون عندما كانت الكتلتان فى مستوى أفقى واحد، فأوجد مقدار عجلة حركة المجموعة، وإذا اصطدم الجسم الأول بالأرض بعد أن قطع مسافة ٥٠ سم، فأوجد الزمن الكلى الذى يستغرقه الجسم الثانى من بدء الحركة حتى يسكن لحظيًا. حركة الأجسام المتصلة ٢ - ٢

📐

الحل

📐

الحل

100 ج = 100 980 - ش

بجمع المعادلتين نجد أن

170 ج = 30 980

عند لحظة اصطدام الجسم ١٠٠ جم بالأرض يكون استغرق زمن ن،

160 سم/ث

عند اصطدام الجسم ١٠٠ جم بالأرض، فإن الجسم ٧٠ جم، يتحرك رأسيًا لأعلى بعجلة الجاذبية مبتدئًا بالسرعة

الجسم 70 جم يستغرق من بدء الحركة زمنًا قدره ن حتى يصل إلى سكون لحظي

(٢) جسمان كتلتهما ٥ كجم، ٣ كجم مربوطان في طرفى خيط خفيف، يمر على بكرة ملساء، بدأت المجموعة حركتها من السكون عندما كان الجسمان في مستوى أفقي واحد على ارتفاع ٢٤٥ سم من سطح الأرض، وبعد ثانية واحدة من بدء الحركة قُطع الخيط، أوجد عجلة الحركة وسرعة كل من الجسمين عند وصوله للأرض. كتاب الرياضيات التطبيقية ١٠٥ تطبيقات على قوانين نيوتن للحركة

🔬

الحل

🔬

الحل

ع = ع + ج = 2,40 = 1 2,40 + 0 م/ث ف = ع 1/2 ج 2 = 1,220 = 1 2,40 1{2 + 0 م ت

ع^2 = ع^2 + 2 غ ع^2 = 1,220 0.4 2 + 2 (2,40) ع = 0.49{2 م/ث

ع^2 = ع^2 + 2 غ

ع = 12 غ^2{2 م/ث

١

ج = 0 0.4 - 0 (1)

٢

ج = 0 - 0.4 0 (2)

١

ج = 2 0.4

💡

الحل

💡

الحل

100 ج = 980 20

ع = ع + ج

ف = ع 1 + 1{2 195 س

أي أن المجموعة تتحرك في نفس اتجاهها السابق قبل انفصال الكتلة الصغرى، ولكن بعجلة تقصيرية إلى أن تصل لسكون لحظي بعد أن تقطع مسافة ف، ثم تغير اتجاه حركتها. ع^2 = ع^2 + 2 ج ف = 195 195 - 2 160 ف ف = 134 2 = 1 سم الكتلة 60 جم تصعد مسافة ف قبل أن تسكن لحظيًا: حيث ف = ف + ف = 2 230 سم

١

ج = 980 50 - ش

٢

ج = ش - 980 60

١

ج = ش - 60 980

٢

ج = 30 30 - ش

🎯

سوف تتعلم

🎯

سوف تتعلم

١

يتعرف مفهوم الدفع

٢

يستنتج العلاقة بين الدفع والتغير في كمية الحركة

⚡

نموذج ما إذا تلاحظ عند:

⚡

نموذج ما إذا تلاحظ عند:

في مثل هذه الحالات تكون دراسة حركة الأجسام عملية شاقة للغاية نتيجة تشابك العوامل المؤثرة عليها ولصغر القترات الزمنية المتناهية. وسوف ندرس في هذا الدرس بعض المعلومات الخاصة بذلك لربط حالة الجسم قبل وبعد حدوث التغير في متجه سرعته من خلال هذا النشاط.

١

قذف كرة في اتجاه حائط رأسي.

٢

تصادم السيارات على الطرق السريعة.

٣

تصادم عجلات الطائرات بأرض المطار أثناء الهبوط.

📐

المصطلحات الأساسية

📐

المصطلحات الأساسية

١

المفع

٢

الصبة الحركة

٣

الفوق المقهية

٤

Impulsive Forces

💡

أولًا: الدفع

💡

أولًا: الدفع

إذا أثرت قوة في ثابتة المقدار على جسم خلال فترة زمنية ن فإن دفع هذه القوة، ونرمز له بالرمز يعرف بأنه حاصل ضرب متجه القوة في زمن تأثيرها أي أن:

تطبيقات على قوانين نيوتن للحركة # يتضح من هذا التعريف أن الدفع كمية متجهة لها نفس اتجاه متجه القوة _0. ويمكن كتابة العلاقة بين القياس الجبري للدفع و والقياس الجبري للقوة _0 كالأتي:

🎯

وحدات قياس مقدار الدفع:

🎯

وحدات قياس مقدار الدفع:

من تعريف الدفع نجد أن: وحدة قياس مقدار الدفع = وحدة قياس مقدار القوة × وحدة قياس الزمن ففي النظام الدولي للوحدات يقاس مقدار الدفع بوحدة نيوتن، ث و يمكن أيضًا أن يقاس بحاصل ضرب أي وحدة قوة في أي وحدة زمن. كما يمكن التعبير عن وحدات قياس مقدار الدفع بطريقة اخري بملاحظة أن: كجم، م/ث، جم، سم/ث،... لذلك نجد أن: إذا كانت الكتلة بالكيلو جرام و السرعة متر/ثانية فإن وحدة مقدار الدفع تكون كجم، م/ث وهي نفس الوحدة نيوتن، ث وعندما تكون الكتلة بالجرام والسرعة سم/ث فإن وحدة مقدار الدفع تكون جم، سم/ث وهي نفس الوحدة داين، ث

⚡

الحل

⚡

الحل

حيث مقدار القوة بالنيوتن، الزمن ن بالثانية

١

لدفع خلال الثواني الثلاث الأولى = و ن

١

نيوتن. ث

٢

لدفع خلال الثانية الخامسة = و ن

١

نيوتن. ث

📐

Impulsive Force

📐

Impulsive Force

القوى الدفعية هي قوة كبيرة جدا تؤثر لفترة زمنية صغيرة للغاية وتحدث تغيرًا هائلاً في كمية حركة الجسم دون أن تحدث تغيرًا يذكر في موضعه والحركة الناتجة عند تأثير هذه القوى تسمى حركة دفعية كمثال على ذلك كرة البيسبول عندما تُضرب فإن زمن التلامس بين المضرب والكرة صغيرًا للغاية مع أن متوسط القوة المؤثرة على الكرة كبير جدًا ويكون الدفع كبيرًا بما يكفي لغير كمية حركة الكرة دون تغير يذكر في موضع الكرة عند تأثير قوة دفعية على جسم يكون = 1 + 0 و = 2 - 1 + 0 حيث ن فترة زمنية صغيرة للغاية. الدفع ٣-٢

🔬

الدفع و كمية الحركة

🔬

الدفع و كمية الحركة

جسم ساكن كتلته ٤ كجم موضوع على مستوى أفقي أملس، أثرت عليه قوة أفقية مقدارها ٥ نيوتن لمدة ٨ ثانية. أوجد مقدار الدفع على الجسم ومقدار سرعة الجسم بعد ٨ ثانية.

حاول أن تحل

١

الدفع = ق. ن

٢

الدفع = ٥ × ٨ × ٥ نيوتن. ث

٣

الدفع = التغير في كمية الحركة

٤

ك (ع - ع) = ٤٠

💡

مثال محلول

💡

مثال محلول

٧) كرة كتلتها ١٠٠ جم تتحرك أفقيًا بسرعة ٩ م/ث. أصطدمت بحائط رأسي وارتدت بسرعة قدرها ٧,٢ كم/س فإذا كان زمن تلامس الكرة مع الحائط ١/١٠ من الثانية فأوجد دفع الحائط للكرة ثم أوجد ضغط الكرة على الحائط.

🎯

الحل

🎯

الحل

باعتبار أن اتجاه الأرتداد هو الإتجاه الموجب للحركة e_1 = -e_2 e_3، e_1 = -e_2 e_3، e_2 = -e_3 e_4 e_1 = -e_2 e_3، e_1 = -e_2 e_3، e_2 = -e_3 e_4، e_2 = -e_3 e_4، e_3 = -e_4 e_5

⚖️

مقارنة سريعة

⚖️

مقارنة سريعة