الدالة العكسية

$f^{-1}(x)$ · اختبار الخط الأفقي · الانعكاس في $y=x$

رياضيات بحتة · الدوال العكسية والنهايات · الوحدة 3

الدالة العكسية

$f^{-1}(x)$ · اختبار الخط الأفقي · الانعكاس في $y=x$

📖 الدرس 1

⏱ ~50 دقيقة

📚 كتاب الوزارة

📐

تعريف الدالة العكسية

📐

تعريف الدالة العكسية

إذا كانت $f$ دالة أحادية (واحد لواحد) فإن $f^{-1}$ هي الدالة التي تعكس عمل $f$ بحيث:

مجال $f^{-1}$ = مدى $f$ · مدى $f^{-1}$ = مجال $f$ · الرسم البياني لـ $f^{-1}$ انعكاس $f$ في المستقيم $y=x$

🔍

🔍

اختبار الخط الأفقي

لدالة $f$ معكوس ⟺ أي خط أفقي $y=k$ يقطع منحنى $f$ بنقطة واحدة على الأكثر. إذا قطع أكثر من نقطة → ليست أحادية → لا معكوس.

✏️

✏️

إيجاد المعكوس جبريًا

📝

📝

أمثلة محلولة

مثال 1: $f(x)=3x-5$

$y=3x-5$ → $x=3y-5$ → $y=\frac{x+5}{3}$ · $f^{-1}(x)=\frac{x+5}{3}$

مثال 2: $f(x)=\frac{2x+1}{x-3}$

$y=\frac{2x+1}{x-3}$ → $xy-3y=2x+1$ → $x(y-2)=3y+1$ → $f^{-1}(x)=\frac{3x+1}{x-2}$

مثال 3: $f(x)=x^2+2$ على $[0,\infty)$

$y=x^2+2$ → $x=\sqrt{y-2}$ · $f^{-1}(x)=\sqrt{x-2}$ · مجال المعكوس $[2,\infty)$

🪞

🪞

التمثيل البياني

منحنى $f^{-1}$ هو انعكاس منحنى $f$ في المستقيم $y=x$. النقطة $(a,b)$ على $f$ تتحول إلى $(b,a)$ على $f^{-1}$.

✅تم إكمال الشريحة!