1. إذا كان ⁦$\text{د}(س)=أ$⁩، ⁦$أ\ne \mathrm{٠}$⁩ فإن د تُسمى كثيرة الحدود الثابتة.
2. دوال كثيرة الحدود من الدرجة الأولى تُسمى دوالًا خطية، ومن الدرجة الثانية تربيعية، ومن الدرجة الثالثة تكعيبية.
3. عند جمع أو طرح دوال قوى مختلفة وثوابت، نحصل على دالة كثيرة الحدود.
4. أصفار الدالة كثيرة الحدود هي الإحداثيات السينية لنقاط تقاطع منحناها مع محور السينات.

مجال د = ح − {٢} (لأن س = ٢ لا تنتمي للفترة الأولى). عند س < ٢: د(س) = س². عند س ≥ ٢: د(س) = ٤ (دالة ثابتة). مدى د = [٠، ∞[.

إذا كانت د(س) = |س|:

• منحنى ر(س) = |س| + ٣ هو نفس منحنى د بإزاحة قدرها ٣ وحدات في اتجاه محور الصادات الموجب (لأعلى).
• منحنى ع(س) = |س| − ٢ هو نفس منحنى د بإزاحة قدرها ٢ وحدة في اتجاه محور الصادات السالب (لأسفل).

لاحظ: الإزاحة الرأسية لا تغيّر مجال الدالة، لكنها تغيّر المدى. فمدى ر = [٣، ∞[ ومدى ع = [−٢، ∞[.

استخدم منحنى د(س) = س² لتمثيل:

• ر(س) = (س + ٢)² + ٣ → إزاحة أفقية ٢ لليسار ثم إزاحة رأسية ٣ لأعلى. رأس المنحنى (−٢، ٣).
• ع(س) = (س − ٢)² − ١ → إزاحة أفقية ٢ لليمين ثم إزاحة رأسية ١ لأسفل. رأس المنحنى (٢، −١).

منحنى ر هو نفس منحنى د(س) = ١/س بعد:

1. إزاحة أفقية قدرها ١ وحدة في اتجاه محور السينات الموجب (لليمين)، فيصبح ١/(س − ١).
2. إزاحة رأسية قدرها ٢ وحدة لأعلى، فيصبح ١/(س − ١) + ٢.

مجال ر = ح − {١}. مدى ر = ح − {٢}. خطا التقارب: س = ١ (رأسي) و ص = ٢ (أفقي).

اطراد ر: تناقصية في ]−∞، ١[ وفي ]١، ∞[.

هل يمكن القول إن د(س) = ١/س + ٣ تناقصية على مجالها؟ نعم — لأن إضافة ثابت لا يغيّر اطراد الدالة على كل جزء من مجالها؛ تبقى تناقصية في ]−∞، ٠[ وفي ]٠، ∞[.

1. ر(س) = −(س − ٢)² → انعكاس د(س) = س² في محور السينات، ثم إزاحة أفقية ٢ لليمين. رأس المنحنى (٢، ٠)، والمنحنى مفتوح لأسفل.
2. ع(س) = ٢ − (س − ١)² → انعكاس د(س) = س² في محور السينات، ثم إزاحة أفقية ١ لليمين وإزاحة رأسية ٢ لأعلى. رأس المنحنى (١، ٢).
3. ق(س) = −|س − ٣| + ٢ → انعكاس د(س) = |س| في محور السينات، ثم إزاحة أفقية ٣ لليمين وإزاحة رأسية ٢ لأعلى. رأس المنحنى (٣، ٢).

• ر(س) = (−س)² = س² — نفس منحنى د(س) = س² (لأن س² زوجية).
• ع(س) = |−س| = |س| — نفس منحنى د(س) = |س| (لأن |س| زوجية).
• ق(س) = ١/(−س) = −١/س — انعكاس د(س) = ١/س في محور الصادات.

لاحظ: إذا كانت د زوجية فإن د(−س) = د(س) ولا يتغيّر المنحنى. إذا كانت د فردية فإن د(−س) = −د(س) (انعكاس في محور السينات).

بإكمال المربع:

منحنى د هو نفس منحنى ر(س) = س² بإزاحة أفقية ٢ لليسار ثم إزاحة رأسية ٣ لأسفل. رأس المنحنى (−٢، −٣).

منحنى ر هو نفس منحنى د(س) = ١/س بعد:

1. إزاحة أفقية قدرها ١ وحدة في اتجاه محور السينات الموجب (لليمين)، فيصبح ١/(س − ١).
2. إزاحة رأسية قدرها ٢ وحدة لأعلى، فيصبح ١/(س − ١) + ٢.

مجال ر = ح − {١}. مدى ر = ح − {٢}. خطا التقارب: س = ١ (رأسي) و ص = ٢ (أفقي).

اطراد ر: تناقصية في ]−∞، ١[ وفي ]١، ∞[.

هل يمكن القول إن د(س) = ١/س + ٣ تناقصية على مجالها؟ نعم — لأن إضافة ثابت لا يغيّر اطراد الدالة على كل جزء من مجالها؛ تبقى تناقصية في ]−∞، ٠[ وفي ]٠، ∞[.

1. ر(س) = −(س − ٢)² → انعكاس د(س) = س² في محور السينات، ثم إزاحة أفقية ٢ لليمين. رأس المنحنى (٢، ٠)، والمنحنى مفتوح لأسفل.
2. ع(س) = ٢ − (س − ١)² → انعكاس د(س) = س² في محور السينات، ثم إزاحة أفقية ١ لليمين وإزاحة رأسية ٢ لأعلى. رأس المنحنى (١، ٢).
3. ق(س) = −|س − ٣| + ٢ → انعكاس د(س) = |س| في محور السينات، ثم إزاحة أفقية ٣ لليمين وإزاحة رأسية ٢ لأعلى. رأس المنحنى (٣، ٢).

• ر(س) = (−س)² = س² — نفس منحنى د(س) = س² (لأن س² زوجية).
• ع(س) = |−س| = |س| — نفس منحنى د(س) = |س| (لأن |س| زوجية).
• ق(س) = ١/(−س) = −١/س — انعكاس د(س) = ١/س في محور الصادات.

لاحظ: إذا كانت د زوجية فإن د(−س) = د(س) ولا يتغيّر المنحنى. إذا كانت د فردية فإن د(−س) = −د(س) (انعكاس في محور السينات).

بإكمال المربع:

منحنى د هو نفس منحنى ر(س) = س² بإزاحة أفقية ٢ لليسار ثم إزاحة رأسية ٣ لأسفل. رأس المنحنى (−٢، −٣).