🌿

إيجاد نهاية الدالة جبريًا

نهاية كثيرات الحدود · نظريات النهايات · التحليل · المرافق

الرياضيات العامة · النهايات · الوحدة ⁦

٣

⁩

نهاية كثيرات الحدود · نظريات النهايات · التحليل · المرافق

📖 الدرس ⁦

٣ . ١

⁩

⏱ ~⁦

٥٠

⁩ دقيقة

📚 كتاب الوزارة

📖

مقدمة

📖

مقدمة

لاحظ

وجود نهاية عند ⁦ $س = أ$ ⁩ لا يعني أن ⁦ $د (أ)$ ⁩ معرفة — والعكس صحيح أيضًا.

في هذا الدرس نتعرف على طرق حساب نهاية دالة عند نقطة دون جدول قيم.

⁦

س \to أ lim د (س) = ل

⁩

إذا اقتربت ⁦ $د (س)$ ⁩ من ⁦ $ل$ ⁩ الوحيدة عندما ⁦ $س \to أ$ ⁩ من جهتي اليمين واليسار.

🎮

استكشف تفاعلي — اقترب من ⁦س=٣⁩

🎮

استكشف تفاعلي — اقترب من ⁦

س = ٣

⁩

⁦ $س$ ⁩	⁦ $٢ . ٥$ ⁩	⁦ $٢ . ٩$ ⁩	⁦ $٢ . ٩٩$ ⁩	⁦ $٣ . ٠١$ ⁩	⁦ $٣ . ١$ ⁩
⁦ $\frac{س ^{٢} - ٩}{س - ٣}$ ⁩	⁦ $٥ . ٥$ ⁩	⁦ $٥ . ٩$ ⁩	⁦ $٥ . ٩٩$ ⁩	⁦ $٦ . ٠١$ ⁩	⁦ $٦ . ١$ ⁩

لـ ⁦ $د (س) = \frac{س ^{٢} - ٩}{س - ٣}$ ⁩: عند ⁦ $س = ٣$ ⁩ شكل ⁦ $\frac{٠}{٠}$ ⁩ — لكن عند ⁦ $س \neq = ٣$ ⁩ يكون ⁦ $د (س) = س + ٣$ ⁩.

📐

نهاية الدالة كثيرة الحدود

📐

نهاية الدالة كثيرة الحدود

إذا كانت ⁦

د (س)

⁩ كثيرة حدود و ⁦

أ \in ح

⁩، فإن: ⁦

س \to أ lim د (س) = د (أ)

⁩

مثال

⁦ $س \to ٢ lim (س^{٢} + ٣س - ١) = ٤ + ٦ - ١ = ٩$ ⁩
⁦ $س \to - ١ lim (٢ س^{٣} - س + ٥) = - ٢ + ١ + ٥ = ٤$ ⁩

⚙️

نظريات النهايات

⚙️

نظريات النهايات

إذا كانت ⁦ $س \to أ lim د (س) = ل$ ⁩ و ⁦ $س \to أ lim ر (س) = م$ ⁩ و ⁦ $ك$ ⁩ ثابت:

⁦ $س \to أ lim [ك \cdot د (س)] = ك ل$ ⁩
⁦ $س \to أ lim [د (س) \pm ر (س)] = ل \pm م$ ⁩
⁦ $س \to أ lim [د (س) \cdot ر (س)] = ل م$ ⁩
⁦ $س \to أ lim \frac{د ( س )}{ر ( س )} = \frac{ل}{م}$ ⁩ (⁦ $م \neq = ٠$ ⁩)
⁦ $س \to أ lim [د (س)]^{n} = ل^{n}$ ⁩

🔬

نهاية دالة كسرية — التحليل

🔬

نهاية دالة كسرية — التحليل

مثال — ⁦

س \to ٣ lim \frac{س ^{٢} - ٩}{س - ٣}

⁩

⁦

\frac{( س - ٣ ) ( س + ٣ )}{س - ٣} = س + ٣

⁩ لـ ⁦

س \neq = ٣

⁩

⁦

س \to ٣ lim (س + ٣) = ٦

⁩

مثال — ⁦

س \to ٢ lim \frac{س ^{٢} - ٥س + ٦}{س ^{٢} - ٤}

⁩

⁦

\frac{( س - ٢ ) ( س - ٣ )}{( س - ٢ ) ( س + ٢ )} = \frac{س - ٣}{س + ٢}

⁩

⁦

س \to ٢ lim \frac{س - ٣}{س + ٢} = - \frac{١}{٤}

⁩

📏

استخدام المرافق

📏

استخدام المرافق

مثال — ⁦

س \to ٤ lim \frac{س - ٢}{س - ٤}

⁩

⁦

\frac{( س - ٢ ) ( س + ٢ )}{( س - ٤ ) ( س + ٢ )} = \frac{١}{س + ٢}

⁩

⁦

س \to ٤ lim \frac{١}{س + ٢} = \frac{١}{٤}

⁩

مثال — ⁦

س \to ٠ lim \frac{س + ١ - ١}{س}

⁩

⁦

\frac{س}{س ( س + ١ + ١ )} = \frac{١}{س + ١ + ١} ⟶ \frac{١}{٢}

⁩

📝

تمارين ⁦٢-٣⁩ — تدريب تفاعلي

📝

تمارين ⁦

٢ - ٣

⁩ — تدريب تفاعلي

⁦

١

⁩

⁦

س \to ٣ lim (٢س + ١)

⁩

تحقق

عرض الحل

⁦

٢ (٣) + ١ = ٧

⁩

⁦

٢

⁩

⁦

س \to ٠ lim \frac{س ^{٢}}{س}

⁩

تحقق

عرض الحل

⁦

= س \to ٠ lim س = ٠

⁩

⁦

٣

⁩

⁦

س \to ٢ lim \frac{س ^{٢} - ٤}{س - ٢}

⁩

تحقق

عرض الحل

⁦

س + ٢ ⟶ ٤

⁩

⁦

٤

⁩

⁦

س \to ١ lim \frac{س ^{٢} - ٣س + ٢}{س ^{٢} - ١}

⁩

تحقق

عرض الحل

⁦

\frac{س - ٢}{س + ١} ⟶ - \frac{١}{٢}

⁩

⁦

٥

⁩

⁦

س \to ٩ lim \frac{س - ٣}{س - ٩}

⁩

تحقق

عرض الحل

⁦

\frac{١}{س + ٣} ⟶ \frac{١}{٦}

⁩

⁦

٦

⁩

⁦

س \to - ٢ lim \frac{س ^{٣} + ٨}{س + ٢}

⁩

تحقق

عرض الحل

⁦

س^{٢} - ٢س + ٤ ⟶ ١٢

⁩