🌿

نهاية الدالة عند اللا نهاية

سلوك الدوال عند ⁦±∞⁩ · قواعد أساسية · كثيرات الحدود

الرياضيات العامة · النهايات · الوحدة ⁦

٣

⁩

سلوك الدوال عند ⁦

\pm \infty

⁩ · قواعد أساسية · كثيرات الحدود

📖 الدرس ⁦

٣ . ٢

⁩

⏱ ~⁦

٤٥

⁩ دقيقة

📚 كتاب الوزارة

💡

نشاط

💡

نشاط

للدالة ⁦ $د (س) = \frac{١}{س}$ ⁩: كلما زادت ⁦ $س$ ⁩ الموجبة واقتربت من اللانهاية اقتربت ⁦ $د (س)$ ⁩ من الصفر.

⁦

س \to + \infty lim \frac{١}{س} = ٠

⁩ | ⁦

س \to - \infty lim \frac{١}{س} = ٠

⁩

🎮

استكشف تفاعلي — ⁦س→∞⁩

🎮

استكشف تفاعلي — ⁦

س \to \infty

⁩

منحنى ⁦ $د (س) = \frac{١}{س}$ ⁩ — لاحظ كيف تقترب القيم من ⁦ $٠$ ⁩ عندما ⁦ $∣ س ∣$ ⁩ كبير.

📐

قواعد أساسية

📐

قواعد أساسية

⁦ $س \to \pm \infty lim ك = ك$ ⁩
حيث ⁦ $ك$ ⁩ ثابت.
⁦ $س \to \pm \infty lim \frac{١}{س ^{n}} = ٠$ ⁩
حيث ⁦ $n$ ⁩ موجب.
نظريات الجمع والطرح والضرب والقسمة للنهايات تنطبق عند ⁦ $س \to \pm \infty$ ⁩.

🔬

أمثلة

🔬

أمثلة

مثال (١)

⁦

س \to + \infty lim \frac{٣ س ^{٢} + ٢س - ١}{٢ س ^{٢} + ٥} = \frac{٣}{٢}

⁩

نقسم على ⁦ $س^{٢}$ ⁩ (أعلى قوة في المقام).

مثال (٢)

⁦

س \to + \infty lim \frac{٢س + ٣}{س ^{٢} + ١} = ٠

⁩

درجة البسط < درجة المقام.

مثال (٣)

⁦

س \to - \infty lim \frac{٤ س ^{٢} - س}{٢ س ^{٢} + ٣} = ٢

⁩

📋

استنتاج عام

📋

استنتاج عام

عند ⁦

س \to \pm \infty lim \frac{د ( س )}{ر ( س )}

⁩ حيث ⁦

د

⁩، ⁦

ر

⁩ كثيرتا حدود: قارن درجة البسط بدرجة المقام — إذا تساوتا فالنهاية = نسبة المعاملين الرئيسيين؛ إذا البسط أقل ⟹ ⁦

٠

⁩؛ إذا البسط أكبر ⟹ ⁦

\pm \infty

⁩.

📝

تمارين ⁦٣-٣⁩ — تدريب تفاعلي

📝

تمارين ⁦

٣ - ٣

⁩ — تدريب تفاعلي

⁦

١

⁩

⁦

س \to + \infty lim \frac{١}{س ^{٣}}

⁩

تحقق

عرض الحل

⁦

= ٠

⁩

⁦

٢

⁩

⁦

س \to + \infty lim \frac{٥ س ^{٢} + ١}{٣ س ^{٢} - ٢}

⁩

تحقق

عرض الحل

⁦

= \frac{٥}{٣}

⁩

⁦

٣

⁩

⁦

س \to + \infty lim \frac{٢س + ١}{س ^{٣} + ٤}

⁩

تحقق

عرض الحل

درجة البسط < درجة المقام ⟹ ⁦ $٠$ ⁩

⁦

٤

⁩

⁦

س \to + \infty lim \frac{٣ س ^{٢} - ٤س + ١}{٢ س ^{٢} + س - ٣}

⁩

تحقق

عرض الحل

⁦

= \frac{٣}{٢}

⁩

⁦

٥

⁩

⁦

س \to + \infty lim \frac{س ^{٣} - ٢س}{س ^{٢} + ١}

⁩

⁦

٠

⁩ ⁦

٢

⁩ ⁦

+ \infty

⁩ ⁦

- \infty

⁩

عرض الحل

درجة البسط > درجة المقام ⟹ ⁦ $+ \infty$ ⁩

⁦

٦

⁩

⁦

س \to + \infty lim \frac{س ^{٢} + ١}{س}

⁩

تحقق

عرض الحل

⁦

= \frac{∣ س ∣ ١ + ١ / س ^{٢}}{س} ⟶ ١

⁩ (لـ ⁦

س > ٠

⁩)