عند $x=a$ نستخدم التعريف المناسب حسب اتجاه الاقتراب:
مثال 1: $f(x)=\begin{cases}x+1 & x<2\\ 3 & x=2\\ x^2-1 & x>2\end{cases}$
$\lim_{x\to 2^-}(x+1)=3$ · $\lim_{x\to 2^+}(x^2-1)=3$ · متساويتان → $\lim_{x\to 2}f(x)=3$ (رغم $f(2)=3$)
مثال 2: $f(x)=\frac{|x-1|}{x-1}$
عند $x=1$: من اليمين $\frac{x-1}{x-1}=1$ · من اليسار $\frac{-(x-1)}{x-1}=-1$ · النهاية غير موجودة
مثال 3: $f(x)=\begin{cases}\frac{x^2-1}{x-1} & x\neq 1\\ 5 & x=1\end{cases}$
لـ $x\neq 1$: $\frac{x^2-1}{x-1}=x+1$ → $\lim_{x\to 1}f(x)=2$ · لكن $f(1)=5\neq 2$
$\lim_{x\to 0^+}\frac{1}{x}=+\infty$ · $\lim_{x\to 0^-}\frac{1}{x}=-\infty$ → النهاية عند $0$ غير موجودة (لا عدد حقيقي)