🌿

حل المعادلات الأسية

توحيد الأساس · توحيد الأس · تبديل المتغير · استكشاف تفاعلي

الرياضيات العامة · الأسس واللوغاريتمات · الوحدة ⁦

٢

⁩

حل المعادلات الأسية

توحيد الأساس · توحيد الأس · تبديل المتغير · استكشاف تفاعلي

📖 الدرس ⁦

٨

⁩

⏱ ~⁦

٥٠

⁩ دقيقة

📚 كتاب الوزارة

🎯

سوف تتعلم

🎯

سوف تتعلم

✓تتعرف المعادلة الأسية

✓تحل معادلات أسية بتوحيد الأساس

✓تحل معادلات أسية بتوحيد الأس

✓تحل معادلات أسية بتبديل المتغير

📖

المعادلة الأسية

📖

المعادلة الأسية

إذا تضمّنت المعادلة متغيرًا في الأس فإنها تُسمى معادلة أسية، مثل: ⁦

٢^{س} = ٨

⁩ أو ⁦

٣^{٢س} = ٩

⁩.

🎮

استكشف تفاعلي — محاكي انقسام الأميبا

🎮

استكشف تفاعلي — محاكي انقسام الأميبا

كل فترة زمنية تتضاعف الخلايا: ⁦ $١ \to ٢ \to ٤ \to ٨ \to \dots \to ٢^{n}$ ⁩. حرّك الفترات ولاحظ النمو الأسّي، ثم اضغط «تحقق من السؤال ⁦ $٩$ ⁩».

①

أولًا — توحيد الأساس

①

أولًا — توحيد الأساس

إذا كان ⁦

أ^{م} = أ^{ن}

⁩ حيث ⁦

أ > ٠

⁩، ⁦

أ \neq = ١

⁩، فإن ⁦

م = ن

⁩.

②

ثانيًا — توحيد الأس (نفس الأس)

②

ثانيًا — توحيد الأس (نفس الأس)

إذا كان ⁦

أ^{س} = ب^{س}

⁩ حيث ⁦

أ \neq = ب

⁩ (⁦

أ

⁩، ⁦

ب

⁩ موجبان ⁦

\neq = ١

⁩)، فإن ⁦

س = ٠

⁩. إذا كان ⁦

أ = ب

⁩ فالمعادلة صحيحة لكل ⁦

س

⁩.

مثال — ⁦

٥^{س} = ٢ ٥^{س - ١}

⁩

⁦

٥^{س} = ٥^{٢س - ٢}

⁩

⁦

س = ٢س - ٢ ⟹ س = ٢

⁩

مثال — ⁦

٣^{٢س} = ٩^{س + ١}

⁩

⁦

٣^{٢س} = ٣^{٢س + ٢}

⁩

⟹ ⁦ $٢س = ٢س + ٢$ ⁩ — لا حل (معادلة متناقضة).

③

ثالثًا — تبديل المتغير

③

ثالثًا — تبديل المتغير

مثال — ⁦

٢^{٢س} - ٥ \cdot ٢^{س} + ٦ = ٠

⁩

نضع ⁦ $ع = ٢^{س}$ ⁩ حيث ⁦ $ع > ٠$ ⁩:

⁦

ع^{٢} - ٥ ع + ٦ = ٠ ⟹ (ع - ٢) (ع - ٣) = ٠

⁩

⁦

٢^{س} = ٢ ⟹ س = ١

⁩

⁦

٢^{س} = ٣ ⟹ س = لو_{٢} ٣

⁩

⁦

مجموعة الحل = {١، لو_{٢} ٣}

⁩

④

حالات خاصة — ⁦أس=١⁩

④

حالات خاصة — ⁦

أ^{س} = ١

⁩

📝

تمارين ⁦٢−٣⁩ — تدريب تفاعلي

📝

تمارين ⁦

٢ - ٣

⁩ — تدريب تفاعلي

⁦

١

⁩

⁦

٢^{س} = ١٦

⁩

أوجد ⁦ $س$ ⁩.

تحقق

عرض الحل

⁦

٢^{س} = ٢^{٤} ⟹ س = ٤

⁩

⁦

٢

⁩

⁦

٣^{س - ١} = \frac{١}{٩}

⁩

أوجد ⁦ $س$ ⁩.

تحقق

عرض الحل

⁦

\frac{١}{٩} = ٣^{- ٢}

⁩ ⟹ ⁦

س - ١ = - ٢

⁩ ⟹ ⁦

س = - ١

⁩

⁦

٣

⁩

⁦

٤^{س} = ٢^{س + ٣}

⁩

أوجد ⁦ $س$ ⁩.

تحقق

عرض الحل

⁦

٢^{٢س} = ٢^{س + ٣}

⁩ ⟹ ⁦

٢س = س + ٣

⁩ ⟹ ⁦

س = ٣

⁩

⁦

٤

⁩

⁦

٧^{س} = ٤٩

⁩

أوجد ⁦ $س$ ⁩.

تحقق

عرض الحل

⁦

٧^{س} = ٧^{٢}

⁩ ⟹ ⁦

س = ٢

⁩ — ⁦ $ح = {٢}$ ⁩

⁦

٥

⁩

⁦

٢^{٢س} - ٣ \cdot ٢^{س} + ٢ = ٠

⁩

مجموعة الحل (مثل: ⁦ $٠،١$ ⁩).

تحقق

عرض الحل

⁦

ع = ٢^{س}

⁩: ⁦

ع^{٢} - ٣ ع + ٢ = ٠ ⟹ س = ٠

⁩ أو ⁦

س = ١

⁩

⁦

٦

⁩

⁦

٣^{س} = \frac{١}{٢٧}

⁩

مجموعة الحل:

أ⁦

{- ٣}

⁩ ب⁦

{٣}

⁩ ج⁦

{- \frac{١}{٣}}

⁩ د⁦

{\frac{١}{٣}}

⁩

عرض الحل

⁦

\frac{١}{٢٧} = ٣^{- ٣}

⁩ ⟹ ⁦

س = - ٣

⁩ — الإجابة (أ) ⁦ ${- ٣}$ ⁩