✓ درس 1.8 · كتاب الوزارة

الوحدة الأولى: الدوال الحقيقية ورسم المنحنيات

حل المعادلات الأسية

الصفالثاني الثانوي المدة45 د محتوى كامل

درس «حل المعادلات الأسية» — توحيد الأساس والأس، تبديل المتغير، وحالات خاصة.

محاضرة فيديو شرائح متحركة + قراءة صوتية عربية

اضغط أي أداة — سجّل مجاناً لتوليد اختبارات وفيديو وملخصات من الدرس

درس «حل المعادلات الأسية» — توحيد الأساس والأس، تبديل المتغير، وحالات خاصة.

الرياضيات العامة · الأسس واللوغاريتمات · الوحدة ⁦

٢

⁩

حل المعادلات الأسية

توحيد الأساس · توحيد الأس · تبديل المتغير · استكشاف تفاعلي

📖 الدرس ⁦

٨

⁩

⏱ ~⁦

٥٠

⁩ دقيقة

📚 كتاب الوزارة

🎯

سوف تتعلم

✓تتعرف المعادلة الأسية
✓تحل معادلات أسية بتوحيد الأساس
✓تحل معادلات أسية بتوحيد الأس
✓تحل معادلات أسية بتبديل المتغير

💡

فكر وناقش — تكاثر الأميبا

تتكاثر الأميبا بالانقسام الثنائي: خلية واحدة → ⁦ $٢$ ⁩ → ⁦ $٤$ ⁩ → ⁦ $٨$ ⁩ … بعد فترات متساوية.

أوجد عدد الخلايا من خلية واحدة بعد ⁦ $٩$ ⁩ فترات. الجواب: ⁦ $٢^{٩} = ٥١٢$ ⁩
أوجد عدد الفترات لإنتاج ⁦ $٨١٩٢$ ⁩ خلية. ⁦ $٢^{س} = ٨١٩٢ = ٢^{١٣}$ ⁩ ⟹ ⁦ $١٣$ ⁩ فترة

📖

المعادلة الأسية

إذا تضمّنت المعادلة متغيرًا في الأس فإنها تُسمى معادلة أسية، مثل: ⁦٢س=٨⁩ أو ⁦٣٢س=٩⁩.

🎮

استكشف تفاعلي — محاكي انقسام الأميبا

كل فترة زمنية تتضاعف الخلايا: ⁦ $١ \to ٢ \to ٤ \to ٨ \to \dots \to ٢^{n}$ ⁩. حرّك الفترات ولاحظ النمو الأسّي، ثم اضغط «تحقق من السؤال ⁦ $٩$ ⁩».

①

أولًا — توحيد الأساس

إذا كان ⁦أم=أن⁩ حيث ⁦أ>٠⁩، ⁦أ=١⁩، فإن ⁦م=ن⁩.

مثال ⁦ $١$ ⁩: ⁦

٢^{س} = ٨

⁩ ⟹ ⁦

٢^{س} = ٢^{٣}

⁩ ⟹ ⁦

٣ س =

⁩

مثال ⁦ $٢$ ⁩: ⁦

٩^{س} = ٢٧

⁩ ⟹ ⁦

٣^{٢س} = ٣^{٣}

⁩ ⟹ ⁦

٢س = ٣

⁩ ⟹ ⁦

\frac{٣}{٢} س =

⁩

مثال ⁦ $٣$ ⁩: ⁦

٤^{س + ١} = ٨^{س - ١}

⁩ ⟹ ⁦

٢^{٢س + ٢} = ٢^{٣س - ٣}

⁩ ⟹ ⁦

٢س + ٢ = ٣س - ٣

⁩ ⟹ ⁦

٥ س =

⁩

②

ثانيًا — توحيد الأس (نفس الأس)

إذا كان ⁦أس=بس⁩ حيث ⁦أ=ب⁩ (⁦أ⁩، ⁦ب⁩ موجبان ⁦=١⁩)، فإن ⁦س=٠⁩. إذا كان ⁦أ=ب⁩ فالمعادلة صحيحة لكل ⁦س⁩.

مثال — ⁦

٥^{س} = ٢ ٥^{س - ١}

⁩

⁦

٥^{س} = ٥^{٢س - ٢}

⁩

⁦

س = ٢س - ٢ ⟹ س = ٢

⁩

مثال — ⁦

٣^{٢س} = ٩^{س + ١}

⁩

⁦

٣^{٢س} = ٣^{٢س + ٢}

⁩

⟹ ⁦ $٢س = ٢س + ٢$ ⁩ — لا حل (معادلة متناقضة).

③

ثالثًا — تبديل المتغير

مثال — ⁦

٢^{٢س} - ٥ \cdot ٢^{س} + ٦ = ٠

⁩

نضع ⁦ $ع = ٢^{س}$ ⁩ حيث ⁦ $ع > ٠$ ⁩:

⁦

ع^{٢} - ٥ ع + ٦ = ٠ ⟹ (ع - ٢) (ع - ٣) = ٠

⁩

⁦

٢^{س} = ٢ ⟹ س = ١

⁩

⁦

٢^{س} = ٣ ⟹ س = لو_{٢} ٣

⁩

⁦

مجموعة الحل = {١، لو_{٢} ٣}

⁩

مثال — ⁦

٣^{٢س} - ١٠ \cdot ٣^{س} + ٩ = ٠

⁩

⁦ $ع = ٣^{س}$ ⁩: ⁦ $ع^{٢} - ١٠ ع + ٩ = ٠$ ⁩ ⟹ ⁦ $(ع - ٩) (ع - ١) = ٠$ ⁩ ⟹ ⁦ $ع = ٩$ ⁩ أو ⁦ $ع = ١$ ⁩

⁦ $٣^{س} = ٩$ ⁩ ⟹ ⁦ $س = ٢$ ⁩ | ⁦ $٣^{س} = ١$ ⁩ ⟹ ⁦ $س = ٠$ ⁩. الحل ⁦ $= {٠،٢}$ ⁩

④

حالات خاصة — ⁦

أ^{س} = ١

⁩

⁦ $أ \neq = ١$ ⁩

⁦ $أ^{س} = ١$ ⁩ ⟹ ⁦ $س = ٠$ ⁩ فقط

⁦ $أ = - ١$ ⁩

⁦ $(- ١)^{س} = ١$ ⁩ ⟹ ⁦ $س$ ⁩ زوجي (إن وُجد في المجال)

📝

تمارين ⁦

٢ - ٣

⁩ — تدريب تفاعلي

اختبر حل المعادلات الأسية

النتيجة: ٠ / ٦

⁦

١

⁩

⁦

٢^{س} = ١٦

⁩

أوجد ⁦ $س$ ⁩.

عرض الحل

⁦

٢^{س} = ٢^{٤} ⟹ س = ٤

⁩

⁦

٢

⁩

⁦

٣^{س - ١} = \frac{١}{٩}

⁩

أوجد ⁦ $س$ ⁩.

عرض الحل

⁦

\frac{١}{٩} = ٣^{- ٢}

⁩ ⟹ ⁦

س - ١ = - ٢

⁩ ⟹ ⁦

س = - ١

⁩

⁦

٣

⁩

⁦

٤^{س} = ٢^{س + ٣}

⁩

أوجد ⁦ $س$ ⁩.

عرض الحل

⁦

٢^{٢س} = ٢^{س + ٣}

⁩ ⟹ ⁦

٢س = س + ٣

⁩ ⟹ ⁦

س = ٣

⁩

⁦

٤

⁩

⁦

٧^{س} = ٤٩

⁩

أوجد ⁦ $س$ ⁩.

عرض الحل

⁦

٧^{س} = ٧^{٢}

⁩ ⟹ ⁦

س = ٢

⁩ — ⁦ $ح = {٢}$ ⁩

⁦

٥

⁩

⁦

٢^{٢س} - ٣ \cdot ٢^{س} + ٢ = ٠

⁩

مجموعة الحل (مثل: ⁦ $٠،١$ ⁩).

عرض الحل

⁦

ع = ٢^{س}

⁩: ⁦

ع^{٢} - ٣ ع + ٢ = ٠ ⟹ س = ٠

⁩ أو ⁦

س = ١

⁩

⁦

٦

⁩

⁦

٣^{س} = \frac{١}{٢٧}

⁩

مجموعة الحل:

عرض الحل

⁦

\frac{١}{٢٧} = ٣^{- ٣}

⁩ ⟹ ⁦

س = - ٣

⁩ — الإجابة (أ) ⁦ ${- ٣}$ ⁩

📝

الدرس التالي الدالة اللوغاريتمية وتمثيلها البياني

درس «الدالة اللوغاريتمية وتمثيلها البياني» — شرح منظم من كتاب الوزارة للصف الثاني الثانوي (علوم). Logarithmic Function...

ابدأ ←

حل المعادلات الأسية

⁦أ=١⁩

⁦أ=−١⁩

اختبر حل المعادلات الأسية

⁦ $أ \neq = ١$ ⁩

⁦ $أ = - ١$ ⁩