نظرية ذات الحدين بأس صحيح موجب

+ 1 = 1$$$$(2 + x =

+ 1 = 1$$ويمكن استنتاج أن:$$(1 + x =

- 2 = 2 + 1 = 1 + 1$$$$(2 + x =

+ 1 = 1 + 1 + 2 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1$$☑ ما العلاقة بين عدد الحدود وقيمة الأس؟ ☑ ما العلاقة بين قوى المتغيرين س، أ في كل حد من حدود المفكوك؟ ☑ ماذا تلاحظ عن معاملات الحدود في كل حدود المفكوك؟ ☑ هل يمكن استخدام مثلث باسكال للتعبير عن المعاملات؟ ☑ حاول استنتاج قاعدة إيجاد مفكوك (١ + ب)² Pascal triangle لاحظ أن: معاملات المفكوك تنبع نمطًا يمثله مثلث باسكال ### معاملات حدود المفكوك ☑ ويمكن كتابة عناصر مثلث باسكال باستخدام التوافق كما في الشكل التالي: ### سوف تتعلم - الربط بين مثلث باسكال ومعاملات مفكوك ذي الحدين. - الصورة العامة لمفكوك (س + أ)⁰ حيث ن = ص⁻² - الصورة العامة للحد العام ح س+١ من مفكوك (س + أ)⁰ - رتبة وقيمة الحد الأوسط والحدين الأوسطين ### مصطلحات أساسية - مفكوك: The expansion - Binomial: ذات حدين - الحدد العام: The general term - الحدد الأوسط: The middle term ### الأدوات المستخدمة - آلة حاسبة علمية: Scientific calculator - برامج رسومية: Graphical programs نظرية ذات الحدين بأس صحيح موجب بملاحظة الصف الثاني مثلا من مثلث باسكال نلاحظ أن ١، ٢، ١ تمثل _1، _2، _3 على الترتيب وأن مجموع هذه العناصر _1، _2، _3 تمثل عدد _1 والمجموعات الجزئية التي يمكن تكوينها من مجموعة تحتوي على عنصرين حيث _1 + _2 + _3 = 4 و _1 = _2 المجموعة {m, m: مجموعتاها الجزئية _1، {m، {m، {m. وبالمثل فإن: مجموع عناصر الصف الثالث$\phi_1$،$\phi_2$،$\phi_3$،$\phi_4$تمثل عدد المجموعات الجزئية التي نحصل عليها من مجموعة تحتوي على ٣ عناصر وعدد هذه المجموعات ٨ =$\phi_1^2$،$\phi_2^2$،$\phi_3^2$،$\phi_4^2$،$\phi_5^2$،$\phi_6^2$،$\phi_7^2$،$\phi_8^2$،$\phi_9^2$،$\phi_{10}^2$،$\phi_{11}^2$،$\phi_{12}^2$،$\phi_{13}^2$،$\phi_{14}^2$،$\phi_{15}^2$،$\phi_{16}^2$،$\phi_{17}^2$،$\phi_{18}^2$،$\phi_{19}^2$،$\phi_{20}^2$ وعلى وجه العموم إذا كان لدينا مجموعة عدد عناصرها فإن عدد المجموعات الجزئية التي يمكن الحصول عليها منها = _1^2، _2^2، _3^2، _4^2، _5^2، _6^2، _7^2، _{10^2، _{11^2، _{12^2، _{13^2، _{14^2، _{15^2، _{16^2، _{17^2، _{18^2 تعبير شفهي: بالاستعانة بمثلث باسكال (

اكتب مفكوك (1 + m)5، ثم استخدم ذلك في إيجاد قيمة عددية للمقدار: , + , + , + + , ### الحل $$(1 + m)^5 = 1 + \langle \kappa, \rangle m + \langle \kappa, \rangle m^2 + \langle \kappa, \rangle m^2 + \langle \kappa, \rangle m^4 + \langle \kappa, \rangle m^5 + m^5$$بوضع m = 1 في الطرفين$$(1 + 1)^5 = 1 + \langle \kappa, \rangle + \langle \kappa, \rangle + \langle \kappa, \rangle + \ldots + 1$$$$2^5 = \langle \kappa, \rangle + \langle \kappa, \rangle + \langle \kappa, \rangle + \langle \kappa, \rangle + \ldots + \langle \kappa, \rangle$$

أوجد الحد العاشر من النهاية. ### الحل & الحد العاشر من النهاية في مفكوك (٣ س - ١/

هو الحد العاشر من البداية في مفكوك (١٠ س - ٣ +

= ١٣ & ج. ١ = ١٣ و ١ (س - ١/

= ٦٢ × ٧١٥ = ١٤ ### ٥ حل آخر لاحظ أنه يمكن حساب رتبة الحد العاشر من النهاية في مفكوك (٣ س - ١/٣)، وتكون رتبته مساوية & ٥ = ١ + ١٠ - ١٤ \\ & ويكون ج. ١ من النهاية هو ج. ٢ من البداية & ج. ٢ = ١٣ و ١ (٣ س -

= ١٤ ### ٦ حاول أن تحل & ٣ من مفكوك (٢ س - ١/

= ٢ (ج. ١ + ج. ٣ + ج. ٥ + ج.

= ٢ (ج. ٣ + ج. ٤ + ج.

من حدود (س + ١/

### ٧ مثال & ٥ أوجد في ابسط صورة (س + ٦/

= ٢ (ج. ١ + ج. ٣ + ج. ٥ + ج.

= ٢ (ج. ٣ + ج. ٤ + ج.

= ٦٠ + ٦ + ٦ + ٦ كتاب الجبر والهندسة الفراغية - الجبر ##

حاول أن تحل في أوجد في أبسط صورة (١ + \psi -

- (١ - \psi) = ١١ ### مثال من مفكوك (٣ + m) = (١ -

أوجد الحد الخامس حسب قوى س التصاعدية. ### الحل المقدار يمثل مفكوك [٣ + m) - (١ -

حاول أن تحل من مفكوك (١ - m) = (٨ +

(١ - m) = (٧ + ٢

(١ - m) = (٦ + ٦

(٨)، أوجد القيمة العددية للحد السادس حسب قوى س التصاعدية عندما m = ٢ ### مثال إذا كان (١ + \psi m) = (١ +

(٢ + m) + ١ + m^2 + ١ + m^3 + ١ = ١١ وكان ١٦ = ١٣، أوجد قيمة كل من ن، جـ حيث جـ ≠ ٠ ### الحل (١ + \psi m) = (١ +

(٢ + m) + ١ + m^2 + ١ + m^3 + ١ = ١١ ###

= ١ + \psi m^2 = ١ + m^2 + ١ + m^3 + ١ ###

حاول أن تحل من مفكوك (١ + \psi m) = (١ +

(٢ + m) + ١ + m^2 + ١ + m^3 + ١ نظرية ذات الحدين بأس صحيح موجب ### مثال ### ٨ أثبت أن = ن.ق.س{1 - س.ق.س ☑ إذا كانت النسبة بين _0 من مفكوك (س + 1{10)، _0 من مفكوك (س - 1{

في مفكوك (س + 1{

نجد أن عدد حدود المفكوك = ن + ١