الدالة الأسية وتطبيقاتها
✓ درس 2.1 · كتاب الوزارة
الوحدة الثانية: الأسس واللوغاريتمات وتطبيقات عليها
الدالة الأسية وتطبيقاتها
الصفالثاني الثانوي
المدة45 د
محتوى كامل
درس «الدالة الأسية وتطبيقاتها» — تعريف د(س)=أ^س، النمو والتضاؤل، والفائدة المركبة.
اضغط أي أداة — سجّل مجاناً لتوليد اختبارات وفيديو وملخصات من الدرس
درس «الدالة الأسية وتطبيقاتها» — تعريف د(س)=أ^س، النمو والتضاؤل، والفائدة المركبة.
رياضيات بحتة · الأسس واللوغاريتمات · الوحدة 2
الدالة الأسية وتطبيقاتها
f(x)=a^x · نمو وتضاؤل · فائدة مركبة
📖 الدرس 1
⏱ ~50 دقيقة
📚 كتاب الوزارة
🎯
أهداف الدرس
- ✓تعريف الدالة الأسية f(x)=a^x
- ✓التمييز بين الدالة الأسية والجبرية
- ✓النمو والتضاؤل الأسّي
- ✓الفائدة المركبة والتطبيقات
🦠
نشاط — انقسام البكتيريا
| الزمن (ساعة) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| عدد الخلايا | 1 | 2 | 4 | 8 | 16 | 32 | 64 |
$$N(t) = 2^t \quad \text{بعد 8 ساعات: } N(8) = 2^8 = 256$$
📐
تعريف الدالة الأسية
إذا كان $a$ عددًا حقيقيًا موجبًا $\neq 1$ فإن $f(x)=a^x$ تسمى دالة أسية أساسها $a$.
❌ دالة جبرية
المتغير في الأساس: f(x)=x^2
✅ دالة أسية
المتغير في الأس: f(x)=2^س
📊
التمثيل البياني — 2^س و (½)^س
| س | -3 | −2 | −1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 2^س | ⅛ | ¼ | ½ | 1 | 2 | 4 | 8 |
| (½)^س | 8 | 4 | 2 | 1 | ½ | ¼ | ⅛ |
🔑
خواص الدالة الأسية
1مجال = $\mathbb{R}$ · مدى = $(0, \infty)$
2أ > 1 → تزايدية (نمو أسّي) · 0 < أ < 1 → تناقصية (تضاؤل)
3تمر دائمًا بنقطة (0, 1)
4دالة أحادية
5$(\frac{1}{a})^x$ = صورة $a^x$ بالانعكاس في محور الصادات
6س→−∞: أ>1 → 0 · 0<أ<1 → ∞
📈
النمو الأسّي Exponential Growth
$$f(n) = a(1+r)^n$$
أ = القيمة الابتدائية · y = نسبة النمو · ن = عدد الفترات
🐝 مثال — النحل
60 نحلة · نمو 25٪ أسبوعيًا: $f(t)=60(1.25)^t$
بعد 6 أسابيع: $f(6)=60(1.25)^6 \approx 229$ نحلة
بعد 6 أسابيع: $f(6)=60(1.25)^6 \approx 229$ نحلة
🏦
الربح المركب — 5000 جنيه بنسبة 8٪
$$A = P\left(1+\frac{r}{n}\right)^{n \cdot t}$$
أسنوي ($n=1$): $A=5000(1.08)^{10} \approx 10794$ جنيه
بربع سنوي ($n=4$): $A=5000(1.02)^{40} \approx 11052$ جنيه
جشهري ($n=12$): $A=5000(1+\frac{0.08}{12})^{120} \approx 11051$ جنيه
📉
التضاؤل الأسّي Exponential Decay
$$f(n) = a(1-r)^n$$
🚗 سيارة كريم — 120000 جنيه · تناقص 12٪/سنة
$f(t)=120000(0.88)^t$
بعد 6 سنوات: $f(6)=120000(0.88)^6 \approx 55728$ جنيه
بعد 6 سنوات: $f(6)=120000(0.88)^6 \approx 55728$ جنيه
💊 عقار طبي — 40 ملجم · فقدان 10٪/ساعة
$f(t)=40(0.9)^t$
بعد 4 ساعات: $f(4)=40(0.9)^4 \approx 26.2$ ملجم
بعد 4 ساعات: $f(4)=40(0.9)^4 \approx 26.2$ ملجم
