✓ درس 3.2 · كتاب الوزارة

مقدمة في النهايات

الصفالثاني الثانوي المدة45 د محتوى كامل

محاضرة فيديو شرائح متحركة + قراءة صوتية عربية

اضغط أي أداة — سجّل مجاناً لتوليد اختبارات وفيديو وملخصات من الدرس

درس «مقدمة في النهايات» — شرح منظم من كتاب الوزارة للصف الثاني الثانوي (علوم). يعتبر مفهوم نهاية دالة عند نقطة من المفاهيم الأساسية في علم التفاضل. وفي هذه الوحدة سوف نتعرف على مفهوم نهاية الدالة من الناحية البيانية والجبرية. ولكن قبل ذلك دعنا نتعرف على أنواع الكميات في مجموعة الأعداد الحقيقية. محاور الدرس: Introduction to Limits of Functions · الحل · غير معرفة · حاول أن تحل.

رياضيات بحتة · الدوال العكسية والنهايات · الوحدة 3

مقدمة في النهايات

كميات غير معينة · $\lim_{x\to a}f(x)$ · النهاية اليمنى واليسرى

📖 الدرس 2

⏱ ~50 دقيقة

📚 كتاب الوزارة

🎯

أهداف الدرس

✓التمييز بين الكميات المعينة وغير المعينة
✓فهم مفهوم النهاية بيانيًا
✓قراءة $\lim_{x\to a}f(x)=L$ من الرسم
✓النهاية اليمنى واليسرى

❓

الكميات غير المعينة

عند التعويض المباشر قد نحصل على صور غير محددة:

الصورة	مثال	الحالة
$\frac{0}{0}$	$\lim_{x\to 2}\frac{x^2-4}{x-2}$	غير معينة — نحل جبريًا
$\frac{k}{0}$	$\lim_{x\to 0}\frac{1}{x}$	لا نهاية (تقارب لـ $\pm\infty$)
$\frac{\infty}{\infty}$	$\lim_{x\to\infty}\frac{x^2+1}{2x}$	غير معينة

📐

تعريف النهاية

نقول إن نهاية $f(x)$ عندما $x$ تقترب من $a$ تساوي $L$ إذا اقتربت قيم $f(x)$ من $L$ كلما اقترب $x$ من $a$ (من دون بالضرورة أن تساوي $f(a)$ القيمة $L$).

$$\lim_{x\to a} f(x) = L$$

النهاية تُحدد سلوك الدالة قرب النقطة وليس بالضرورة قيمة الدالة عندها. قد تكون $f(a)$ غير معرّفة والنهاية موجودة.

↔️

النهاية اليمنى واليسرى

$$\lim_{x\to a^+} f(x) = L_1 \quad \text{(من اليمين)} \qquad \lim_{x\to a^-} f(x) = L_2 \quad \text{(من اليسار)}$$

توجد $\lim_{x\to a}f(x)$ ⟺ $L_1=L_2$. إذا اختلفتا → النهاية غير موجودة.

📊

قراءة النهاية من الرسم

1اتجه بـ $x$ نحو $a$ من اليمين — ما قيمة $y$ التي يقترب منها المنحنى؟

2كرر من اليسار

3إذا تطابقتا → النهاية = تلك القيمة

4دائرة مفرغة عند $a$ تعني $f(a)$ غير معرّفة أو مختلفة — النهاية قد تبقى موجودة

📝

مثال

$f(x)=\frac{|x|}{x}$ عند $x=0$

$\lim_{x\to 0^+}\frac{x}{x}=1$ · $\lim_{x\to 0^-}\frac{-x}{x}=-1$ · $1\neq -1$ → النهاية غير موجودة عند $0$

🧸

الدرس التالي إيجاد نهاية الدالة جبريا

درس «إيجاد نهاية الدالة جبريًا» — التعويض المباشر، التحليل، الضرب المرافق، نظريات النهايات.

ابدأ ←