✓ درس 5.4 · كتاب الوزارة

مشتقات الدوال الأسية واللوغاريتمية

الصفالثالث الثانوي المدة45 د محتوى كامل

محاضرة فيديو شرائح متحركة + قراءة صوتية عربية

اضغط أي أداة — سجّل مجاناً لتوليد اختبارات وفيديو وملخصات من الدرس

درس «مشتقات الدوال الأسية واللوغاريتمية» — شرح منظم من كتاب الوزارة للصف الثالث الثانوي (علوم). Derivatives of Exponential and Logarithmic Functions محاور الدرس: Derivatives of Exponential and Logarithmic Functions · دالة اللوغاريتم الطبيعي · Derivative of Natural Exponential Function · بالاشتقاق بالنسبة لـ $n$. أهداف الوحدة: يطبق الاشتقاق وتطبيقاته

رياضيات بحتة · التفاضل والتكامل · الوحدة 5

مشتقات الدوال الأسية واللوغاريتمية

شرح منظم من كتاب الوزارة — جبر، هندسة فراغية، تفاضل وتكامل

📖 الدرس 4

⏱ ~45 دقيقة

📚 كتاب الوزارة

💡 الفكرة المحورية

Derivatives of Exponential and Logarithmic Functions

❓ كيف نحل «حاول أن تحل» خطوة بخطوة؟

📝

تركيز الامتحان

مسألة تطبيقية — اقرأ السؤال مرتين — حدد «عملية الاشتقاق» · مثال: مشتقات الدوال الأسية واللوغاريتمية
حل تدريب الكتاب — راجع «Derivative of Natural Logarithm Fun» · مثال: حاول أن تحل

⚠️

أخطاء شائعة — صحّحها

❌

الحفظ دون فهم «عملية الاشتقاق»
✅ اربط «عملية الاشتقاق» بمثال من كتاب الوزارة

❌

خطأ في الإشارات أو الوحدات
✅ راجع خطوات «مشتقات الدوال الأسية واللوغاري» على السبورة

⚡

محتوى الدرس

📐

Derivatives of Exponential and Logarithmic Functions

📌 سوف تتعلم - مشتقات الدوال الأسية. - مشتقات الدوال اللوغارتمية. - التفاضل اللوغاريتمى. - المشتقات العليا للدرال الأسية. - واللوغارتمية. - نمذجة المشكلات. ### المصطلحات الأساسية - Derivative: مشتقة - Chain Rule: قاعدة السلسة - First Derivative: المشتقة الأولى - الاشتقاق اللوغاريتمى - Logarithmic Differentiation ### الأدوات المستخدمة - آلة حاسبة علمية ### تعريف يعرف العدد هـ من العلاقة : $$\infty_{\text{...}} + \frac{1}{\tau} + \frac{1}{\tau} + \frac{1}{1} = \infty$$ ### تعلم الدالة الأسية ذات الأساس الطبيعى ### الدالة الأسية ذات الأساس الطبيعى ### هي دالة أسية أساسها هـ، د(س) = هـ, س = ع ### لاحظ أن

١
مجال الدالة د حيث د(س) = هـ هو ع و مداها ]، ∞ [
٢
منحنى الدالة يمر بالنقطة (1، 0، 1)، هـ)
٣
د(س) = هـ دالة احادية (One-to-One) - تقبل وجود دالة عكسية تعرف بدالة اللوغاريتم الطبيعى
٤
نستخدم الرمز exp(x) عند رسم الدالة باستخدام أى برنامج رسومى $$

- هـ = ∑_{i=1^{ 1{i{ 1{i = ∞... + 1{i + 1{i + 1{i كتاب الطالب - الصف الثالث الثانوى الاشتقاق وتطبيقات

🔬

Natural Logarithm Function

🎯

مشتقة الدالة الأسية ذات الأساس الطبيعى

📐

محتوى الدرس

✏️ مثال ### مشتقة الدالة الأسية ذات الأساس الطبيعى

١
أوجد المشتقة الأولى لكل من:
٢
= + 2 = = = = 2 = ### الحل

معادلة

$$- = + 2 = = 2 + 2 = 2 = 2$$

١
= + 2 = (2 )^2 + 2 = 2 ### الحل
٢
= + 2 + 2 = (2 )^2 + 2 = 2 ### الحل
٣
= + 1 + = (2 )^2 + 2 = 2 ### حل ### حاول أن تحل
٤
أوجد لكل مما يأتى:
٥
= 2 + جتا 2 = = = = = تفكر ناقد ما العلاقة بين ميل المماس للمنحنى = عند أن نقطة عليه والإحداثي الصادى لهذه النقطة؟ فسر إجابتك كتاب الطالب - الصف الثالث الثانوى

🔬

الاشتقاق وتطبيقاته

💡

قاعدة السلسلة إذا كانت ع دالة قابلة للاشتقاق بالنسبة إلى س، د(ع) = هـ فإن: {2m (هـ) = هـ {2m

✏️ مثال

١
أ أوجد المشتقة الأولى لكل من: - ص = ٣+هـ - ص = ٣+فاس - ص = (هـ-٣ - هـ-
٢
: ص = ٣+هـ - : {2m = هـ-٣ 3 (٣س) = 3+هـ 3
٣
: ص = ٣+فاس - : {2m = ٣+فاس × {2m (فاس) = 3+فاس × قاس طاس
٤
: ص = (هـ-٣ - هـ-٢)³ - : {2m = 3+هـ³ [٣+هـ³ + 3+هـ²] ### حاول أن تحل
٥
أ أوجد {2m لكل مما يأتي: - ص = ٣+هـ - ص = 1{4 (هـ) = 3+هـ 3 ### تعلم

🎯

مشتقة الدالة الأسية للأساس! إذا كانت د(س) = ١ فإن: (

١
= 1 لاحظ أن ١ = هـ (من خواص اللوغاريتمات) = ١ = [هـ] = [١] = هـ ويكون {2m (
٢
= {2m (هـ) = [١] = هـ = ١ × لو ١ = ١ = لو ١ وبوجه عام فإن: {2m (
٣
= ١ = لو ١ + 1 ### مثال

⚡

مشتقة الدالة الأسية

١
أ أوجد {2m لكل مما يأتي: - ص = ٥ × ٦ - ص = ٣ (٣س) = 3+هـ (
٢
- ص = هـ = ٣ × ٣ ### الحل

- : ص = ٥ × ٦ - : {2m = ٥ × ٦ (٣س) = 3 × 3 = لو ٦ كتاب الرياضيات البحتة - التفاضل والتكامل مشتقات الدوال الأسية واللغغرائمية ### مشتقة دالة اللوغاريتم الطبيعي array{l أ: ص = ٣ = ٢ - ٥ - ٢ + ت: ص = ٣ = ٢ - ٥ - ٢ ب: ص = ٣ = ٢ - ٥ - ٢ array ### مشتقة دالة اللوغاريتم الطبيعي array{l أ: أوجد أ: ٥ - ص{أ: ٢ - ص ت: ص = ٢ - أ - ٢ ب: ص = ٢ - أ - ٢ array أو ص = أ - ٢ ### أوجد array{l أ: ص = ٢ - أ - ٢ ت: ص = ٢ - أ - ٢ array أو ص = أ - ٢ ### تكلم Derivative of Natural Logarithm Function فإن 1{2 = 0 ### مشتقة دالة اللوغاريتم الطبيعي مشتقة دالة اللوغاريتم الطبيعي مشتقة دالة اللوغاريتم الطبيعي كتاب الطالب - الصف الثالث الثانوي الاشتقاق وتطبيقات ##

١
حلول أن تحل ###
٢
أوجد { x لكل مما يأتي:
٣
ص = 0 - 2 1{x س
٤
ص = 1{2 س 1{x س تفكير ناقد: ما العلاقة بين ميل المماس للمنحنى ص = 1{x س عند أى نقطة عليه والإحداثى السينى لنقطة المماس؟ فسر إجابتك.

📐

قاعدة السلسلة ###

١
إذا كانت ع دالة قابلة للاشتقاق بالنسبة إلى س، د(ع) = 1{x ع ###
٢
إذا كانت س < 0 فإن: 1{x س = 1{x 1{1 - x = 1{1 - x 1{1 - x ###
٣
وبوجه عام 1{x س = 1{x 1{1 - x لكل س ≠ 0 ###
٤
1{x س = 1{x 1{1 - x حيث ع دالة قابلة للاشتقاق في س. ### مثال ###
٥
أوجد { x لكل مما يأتي:
٦
ص = 1{x س (2 س² +
٧
ص = س² 1{x س ### الحل
٨
: ص = 1{x س (2 س² +
٩
: 1{x ص = 1{x 1{9 1{2 س (2 س² +
١٠
: ص = س² 1{x س = 0 : 1{x 1{1 - x = 1{x 1{1 - x 1{1 - x
١١
: ص = س² 1{x س = 2 : 1{x 1{1 - x = 1{x 1{1 - x 1{1 - x = 1{x 1{1 - x 1{1 - x 1{1 - x 1{1 - x ### حلول أن تحل ###
١٢
أوجد { x لكل مما يأتي:
١٣
ص = 1{x س (2 س² -
١٤
ص = س² 1{x س

🔬

محتوى الدرس

✏️ مثال ⑨ أوجد 1{ لكل مما يأتي: $$1 y = \lg \lambda \quad y = \lg \lambda (2 \ln -

١
\quad y = \lg \lambda (2 \ln - 2)^2$$الحل ### حاول أن تحل ⑨ أوجد ميل المماس لكل من المنحنيات التالية عند قيم س المعطاة:$$1 y = \lg \lambda \quad x = 2 \quad y = 4 \lg (2 \ln +
٢
\quad x = 1$$$$1 y = \lg \lambda (2 \ln -

- x = 1 y = 2 ( ) x = 2 ### مثال ⑩ تطبيقات هندسية: إذا كان 1 0 مماس للمنحنى ص = في النقطة ج (1، ص) ويقطع محور السينات في النقطة I، ومحور الصادات في النقطة ب أوجد طول 1 0 ١٢٢ كتاب الطالب - الصف الثالث الثانوي الاشتقاق وتطبيقات ### الحل لإيجاد طول 1 نتبع المخطط المقابل ميل المماس عند أي نقطة: _{y{_{x = 1{1 1{1 = 1{x : 1 يمس المنحنى في النقطة جـ (1, y) فإن ص = 1{1 1{1 = -1{1 و أي أن جـ (1, -1{1 و (2))، وعندها _{ص{_{س = 1، وتكون معادلة المماس 1 عند جـ هي: y + 1{1 y = -1 1 يقطع محور السينات في النقطة { array{l 1 (

- + 1{1 و (

- = 0 ويقطع محور الصادات في النقطة array ويكون ()^2 = (

١
حاول أن تحل ☑ إذا كان العمودى للمنحنى ص = لو 2 س عند النقطة 1 (
٢
، لو 2 يقطع محور السينات في النقطة أوجد طول 1 لأقرب ثلاثة أرقام عشرية. ### تطبيقات رياضية

💡

محتوى الدرس

✏️ مثال ### A. أوجد _{ص{_{س لكل مما يأتى: $$\boxed{1} y = (x^2 + 0)^\nu \quad \boxed{\nu} y = [\text{جاس}]^\text{طاس}$$ ### B. الحل ###

- ص = (س^2 + 0)^ لو y = x لو (x^2 + 0) يأخذ اللوغاريتم الطبيعى لطرفى العلاقة باشتقاق طرفى العلاقة بالنسبة إلى س 1{y = _{y{_{x = لو (x^2 +

- x^2 بضرب الطرفين y = (x^2 + 0)^ _{y{_{x = (x^2 + 0)^ [ 1{y 2{x + 1{y 2{x ] ###

- ص = [جاس]^طاس يأخذ اللوغاريتم الطبيعى لطرفى العلاقة باشتقاق الطرفين بالنسبة إلى س كتاب الرياضيات البحتة - التفاضل والتكامل مشتقات الدوال الأسية واللغغرافية 1{2 _{m=1^{n 1{x_m ( 1{x_m ) ( 1{x_m ) = 1{x_m ( 1{x_m ) ( 1{x_m ) = 1{x_m ( 1{x_m ) ( 1{x_m ) = 1{x_m ( 1{x_m ) ( 1{x_m ) = 1{x_m ( 1{x_m ) ( 1{x_m ) = 1{x_m ( 1{x_m ) ( 1{x_m ) ### ٣-١ - الكل - أوجد _{m=1^{n لكل مما يأتي - الكمية { array{ll 1 & m 0 & 1 array - الكمية { array{ll + 1 & m 0 & 1 array - الكمية { array{ll + 1 & m 0 & 1 array ### ٣-٢ - مثال - تحقيق علاقة: إذا كانت m = 1 و + 1 = 1 حيث -1 < m < 1 أثبت أن: (1 - m^

- m = m^2 m ### ٣-٣ - الكل - m = 1؛ [ 1{1 - m ] = 1{1 - m يأخذ لوغاريتم الطرفين للأساس - لو m = 1 لو = 1 + 1{2 [ 1{1 - m ] يتفاضل طرفى العلاقة بالنسبة إلى m [ 1{1 - m - 1{1 - m ] = 1{1 - m [ 1{1 - m - 1{1 - m ] [ 1{1 - m - 1{1 - m ] = 1{1 - m [ 1{1 - m - 1{1 - m ] [ 1{1 - m - 1{1 - m ] = 1{1 - m [ 1{1 - m - 1{1 - m ] [ 1{1 - m - 1{1 - m ] = 1{1 - m [ 1{1 - m - 1{1 - m ] [ 1{1 - m - 1{1 - m ] = 1{1 - m ### ٣-٤ - الكمية - إزاء كل { array{ll 1 & m 0 & 1 array - الكمية { array{ll + 1 & m 0 & 1 array - الكمية { array{ll + 1 & m 0 & 1 array ### ٣-٥ - مثال - تحقيق علاقة: إذا كانت m = 1 و + 1 = 1 حيث -1 < m < 1 أثبت أن: (1 - m^

١
m = m^2 m كتاب الطالب - الصف الثالث الثانوي الاشتقاق وتطبيقات تمارين ا-٣

🎯

اختر الإجابة الصحيحة من بين الإجابات المعطاة

١
إذا كانت د(س) = هـ(س) فإن (س) ≤ تساوي: - ١: هـ(س) ⊕ ٣: هـ(س) - ٢: ٣: هـ(س)
٢
إذا كان د(س) = اهـس فإن (2-)(س) تساوي: - (2-)(د) (
٣
- (2-)(د) - (2-)(د) (
٤
منحنى الدالة د: د(س) = ١ + لو (س -
٥
هو نفس منحنى الدالة س: س (س) = لو س بالانتقال: - (
٦
النسبة بين ميل مماس المنحنى ص = لو ٣/اس + ١/ وميل مماس المنحنى ص = لو ٥/اس + ١/ عند س = ١ ك نسبة - (1): ٥ = ٣ - (1): ٥ = ٣ - (1): ٥ = ٣

⚡

أوجد المشتقة الأولى لكل من:

١
ص = قاهس ⊕ ٣

📐

أوجد ميل المماس لكل من المنحنيات التالية عند القيم المعطاة:

١
ص = م/س - 2: هـ(س)
٢
ص = س - 2: لو (س)
٣
ص = 1/4: هـ(س -
٤
لو (س) كتاب الرياضيات البحتة - التفاضل والتكامل مشتقات الدوال الأسية واللغزفرتمية ### أوجد و ص لكل مما يأتي: - (
٥
س لو ص = ٥٨ - (
٦
ص = ه س ### أوجد و ص، و ٢ ص لكل مما يأتي: - (
٧
س = ٣ ن، ص = ٣ ن - (
٨
س = ٦ لو ن، ص = ٣ ن ### أجب عن كل ما يأتي: - (
٩
إذا كانت ص = س ٢ لو س فاً وجد و ٢ ص عند س = ٤ - (
١٠
إذا كانت ص = ١ + ٢ ص أثبت أن (س ٤ -
١١
ص ٢ + ٣ س = ٠ - (
١٢
أوجد قيم س التي يكون عندها مماس المنحنى ص = ٩ س ٢ - ٨ لو س موازيًا لمحور السينات. - (
١٣
أوجد معادلة العمودى للمنحنى ص = ٣ هس عند نقطة واقعه عليه وإحداثيها السينى يساوى -١ كتاب الطالب - الصف الثالث الثانوى

⚖️

مقارنة سريعة

🔹

عملية الاشتقاق

محور أول في «مشتقات الدوال الأسية واللوغاري»

🔸

Derivative of Natural Logarithm Fun

محور ثانٍ — يُقارن بالأول في الكتاب

💡 ملخص سريع

🔹 عملية الاشتقاق
🧬 Derivative of Natural Logarithm Function
🧪 مشتقة دالة اللوغاريتم الطبيعي
📐 الكل

⚡

الدرس التالي تطبيقات على التكامل المحدد

درس «تطبيقات على التكامل المحدد» — شرح منظم من كتاب الوزارة للصف الثالث الثانوي (علوم). هل شاهدت صانع الفواخير وهو يحول...

ابدأ ←