✓ درس 6.1 · كتاب الوزارة

تزايد وتناقص الدوال

الصفالثالث الثانوي المدة45 د محتوى كامل

محاضرة فيديو شرائح متحركة + قراءة صوتية عربية

اضغط أي أداة — سجّل مجاناً لتوليد اختبارات وفيديو وملخصات من الدرس

درس «تزايد وتناقص الدوال» — شرح منظم من كتاب الوزارة للصف الثالث الثانوي (علوم). - أوجد مشتقة الدالة د وابحث إشارة (س) 6 لقيم س المختلفة التي تنتمي لفترة التزايد محاور الدرس: Increasing and Decreasing Functions · First Derivative Test for Monotonic Functions · (القيم القصوى) · اختبار المشتقة الأولى للقيم العظمى والصغرى المحلية. أهداف الوحدة: يدرس سلوك الدوال ورسم المنحنيات

رياضيات بحتة · التفاضل والتكامل · الوحدة 6

تزايد وتناقص الدوال

شرح منظم من كتاب الوزارة — جبر، هندسة فراغية، تفاضل وتكامل

📖 الدرس 1

⏱ ~45 دقيقة

📚 كتاب الوزارة

🎯

أهداف الدرس

بعد هذا الدرس ستكون قادرًا على:

✓يدرس سلوك الدوال ورسم المنحنيات

💡 الفكرة المحورية

توضح الأشكال المقابلة منحنى الدالتين د، س

❓ كيف نحل «أوجد (س) 6» خطوة بخطوة؟

📝

تركيز الامتحان

مسألة تطبيقية — اقرأ السؤال مرتين — حدد «دوال مثلثية» · مثال: تزايد وتناقص الدوال
حل تدريب الكتاب — راجع «تعلم» · مثال: أوجد (س) 6

⚠️

أخطاء شائعة — صحّحها

❌

الحفظ دون فهم «دوال مثلثية»
✅ اربط «دوال مثلثية» بمثال من كتاب الوزارة

❌

خطأ في الإشارات أو الوحدات
✅ راجع خطوات «تزايد وتناقص الدوال» على السبورة

⚡

محتوى الدرس

📐

Increasing and Decreasing Functions

📌 فكر و ناقش توضح الأشكال المقابلة منحنى الدالتين د، س حيث $$\begin{array}{l} $$x (x) = x^2 - 2x - 1, \\$$ $$\text{س (س)} = x^2 - 2x$$ - حدد فترات تزايد أو تناقص الدالة د - أوجد مشتقة الدالة د وابحث إشارة (س) 6 لقيم س المختلفة التي تنتمي لفترة التزايد - إبحث إشارة (س) 6 لقيم س المختلفة التي تنتمي لفترة التناقص كرر ما سبق من خطوات لتحديد إشارة (س) 6 في فترات التزايد وفترات التناقص للدالة س، ماذا تستنتج؟ وما نوع الزاوية التي يصنعها مماس المنحنى عند قيم س المختلفة في فترات التزايد مع الاتجاه الموجب لمحور السينات؟ ### تعلم اختبار المشتقة الأولى للدوال المطردة

🔬

First Derivative Test for Monotonic Functions لتكن د دالة قابلة للاشتقاق على الفترة [أ، ب] :

💡

اذا كان (س) < ٠ لجميع قيم س [أ، ب] ٢ فإن د متزايدة على الفترة [أ، ب]

🎯

إذا كان (س) < ٠ لجميع قيم س [أ، ب] ٣ فإن د متناقصة على الفترة [أ، ب]

📌 سوف تتعلم استخدام المشتقة الأولى في تحديد فترات تزايد أو تناقص دالة. تطبيقات حياتية على فترات تزايد و تناقص الدالة. ### المصطلحات الأساسية - Increasing Function: دالة متزايدة - Decreasing Function: دالة متناقصة ### الأدوات المستخدمة - آلة حاسبة علمية. - برامج رسومية للحاسب ### بحث اطراد دالة أوجد (س) 6 حل المعادلة (س) = 0 إبحث إشارة (س) 6 (س) 0 < د متزايدة د متزايدة كتاب الرياضيات البحتة - التفاضل والتكامل كتاب الطالب - الصف الثالث الثانوي

⚡

تحديد فترات التزايد والتناقص حدد فترات التزايد وفترات التناقص الدالة د حيث د (س) = س² - ٣س + ٢

📌 الحل

📐

محتوى الدرس

📌 لاحظ أن:

🔬

محتوى الدرس

📌 ١ حاوِل أن تحل (

- حدد فترات التزايد وفترات التناقص لكل مما يأتي: 1{1 + 1{10 = 1{10 1{1 1{1 1{1 1{1 1{1 1{1 1{1 ### مثال دوال مثلثية (

- حدد فترات التزايد وفترات التناقص للدالة د حيث د (س) = س + ٢جا س، ٠ < س < ٣٢ ### الحل د متصلة وقابلة للاشتقاق على [ ٠، ٣٢ ]: 5 (x) = 1 + 2 جتا س بحت إشارة 5 (x) عندما 1 + 2 جتاس = 0 جتاس = -1{2 = جتاس x 3 [ 32, 0 ] x = 32{2 أو x = 32{2 أو x [ ١٣٩ ] سلوك الدالة ودراسة المتحنيات لاحظ أن: عند س = {2 (س) = 1 < 0 عند س = {2 (س) = 0 < 1 عند س = {2 (س) = 1 > 1 عند س = {2 (س) = {2 + {2 [ {2 + {2 ] :د تزايدية على {2 (س) = 0 < 1 :د متاقصة على {2 (س) = 1 > 1 :د متاقصة على {2 (س) = 2 > 1 :د تزايدية على {2 (س) = 0 < 1 ###

١
حلول أن تحل

💡

محتوى الدرس

١
حدد فترات تزايد وفترات تناقص الدالة س حيث س (س) = ٢ لو س - س² ###
٢
الحل س (س) قابلة للاشتقاق لكل س ÷ ج بحث إشارة (س) = (س) عند مام (س) = 0 عند س = ١ أو س = -١ أو ج عند س = ١ > 0 عند س = ١ > 0 < 0 و (س) < 0 وتكون س تزايدية على [١، ٠] [١] عند س = ١ < 0 عند س = ١ < 0 و (س) < 0 وتكون س تناقصية على [١، ١] [١] ###
٣
حدد فترات تزايد وفترات تناقص الدالة د حيث د (س) = س - هت، وباستخدام برنامج GeoGebra ارسم منحنى الدالة د وتحقق من إجابتك. كتاب الرياضيات البحتة - التفاضل والتكامل

🎯

٢ تزايد وتناقص الدوال

📌 تمارين ٢ - ١ حدد فترات تزايد وفترات تناقص الدالة د في كل مما يأتي: | ١ | د (س) = س - ٤ س | ٢ | د (س) = (س - ٣)² | ٣ | | --- | --- | --- | --- | --- | | ٤ | د (س) = ٩ س - س | ٥ | د (س) = س + ٤ س | ٦ | | ٧ | د (س) = ١ - س | ٨ | د (س) = س - ٢ + س | ٩ | | ١٠ | د (س) = س + لو س | ١١ | د (س) = س - ٣ - لو س | ١٢ | ### أجب عما يأتي: ١٣ أثبت أن الدالة د حيث د (س) = ظا س - س متزايدة على الفترة ] = H{4 [ ١٤ حدد فترات التزايد وفترات التناقص للدالة د حيث د (س) = ١ - جاس، > ٠ س > ٤π ١٥ إذا كانت د، س دالتين قابلتين للاشتقاق، د (س) > س (س) لكل س في ج، فأثبت أن الدالة ع حيث ع (س) = د (س) - س (س) متناقصة لكل س في ج.

⚡

القيم العظمى والصغرى

📐

(القيم القصوى)

📌 Maxima and Minima (Extrema) ### فكرٍ ناقش يوضح الشكل المقابل منحنى الدالة x المتصلة على [ I، u ]

🔬

محتوى الدرس

📌 Critical Point ### النقطة الحرجة للدالة x المتصلة على الفترة [ I، u ] نقطة حرجة (x = حـد) إذا كانت x = حـد[ I، u ]، (x = حـد[ x ) أو (x = حـد[ x ) غير معرفة أو الدالة x غير قابلة للاشتقاق عند m = حـد. في الشكل السابق نستنتج أن: توجد نقطة حرجة عند m = حـد، m = حـد لأن (حـد) = (حـد) = 0 ويطلق عليها أحيانا نقطة التوقف stationary point، كما توجد نقطة أخرى حرجة عند m = حـد لأن x متصلة عند m = حـد وغير قابلة للاشتقاق (المشتقة اليمنى ≠ المشتقة اليسرى). ### القيم العظمى والقيم الصغرى المحلية ### Local Maximum and Local Minimum إذا كانت x دالة متصلة، مجالها a، a قمق ف فإنه يوجد الدالة x: - قيمة عظمى محلية عند m = حـد إذا وجدت فترة مفتوحة [ I، u ] ف - تحوى حـد بحيث يكون x(m) < x(حـد) لكل m [I، u ] - قيمة صغرى محلية عند m = حـد إذا وجدت فترة مفتوحة [ I، u ] ف - تحوى حـد بحيث يكون x(m) x(حـد) لكل m [I، u ] القيم العظمى والصغرى (القيم القصوى) لاحظ أن: في بند فكر وناقش: توجد قيم عظمى محلية عند س = جم، س = جم، بينما توجد قيمة صغرى محلية عند س = جم

💡

اختبار المشتقة الأولى للقيم العظمى والصغرى المحلية

📌 First Derivative Test for relative maximum and relative minimum **تعلم** إذا كانت (جـ، د (جـ)) نقطة حرجة للدالة د المتصلة عند جـ، ووجدت فترة مفتوحة حول جـ بحيث:

🎯

(س) < ٠ : عندما س < جـ، (س) < ٠ : عندما س < جـ، فإن د (جـ) قيمة عظمى محلية

🔬

اختبار المشتقة الأولى

✏️ مثال

١
إذا كان د (س) = س² + س³ - س⁴ أوجد القيم العظمى أو الصغرى المحلية للدالة د ### الحل

- تحديد النقط الحرجة : د متصلة وقابلة للاشتقاق (x) = x^2 + x - x^4 = x^2 + x - x^2 + x - 1 = x - 1 (1 - (س) (س -

١
) (س) $$= x - 1$$ (2 - (س) (س -
٢
) (س) $$= x$$

🎯

٤ حاول أن تحل

١
إذا كان د (س) = ١/٣ - ٩ س + ٣، أوجد القيم العظمى والصغرى المحلية للدالة د

⚡

٣ مثال المشتقة الأولى غير موجودة

١
أوجد القيم العظمى والصغرى المحلية للدالة د إذا كان د (س) = س ÷ (٣-

📐

٤ الحل

💡

٤ حاول أن تحل

١
أثبت أن الدالة د حيث د (س) = س ÷ ٣ قيمة صغرى محلية. تفكير ناقد: هل الدالة د حيث د (س) = س ÷ ٣ + ٣ س - ٤ - قيم عظمى وصغرى محلية؟ فسر إجابتك. كتاب الرياضيات البحتة - التفاضل والتكامل القيم العظمى والصغرى (القيم القصوى) ### مثال

🎯

دوال كسرية

📌 ٢ أوجد القيم العظمى والصغرى المحلية للدالة د حيث د(س) = س + 1{2 - س مبيتاً نوعها ### الحل مجال د = (٣ - ج) (

١
اختبار المشتقة الأولى عند كل نقطة حرجة يوضحه جدول تغيرات الدالة المقابل (لاحظ استبعاد س = ٠ من مجال د). (
٢
عند س = ٢ - توجد قيمة عظمى محلية = ٤ - ٤ وعند س = ٢ - توجد قيمة صغرى محلية = ٤ لاحظ أن: قد تكون القيمة العظمى المحلية أصغر من القيمة الصغرى المحلية للدالة تكنولوجياً: بين الشكل المقابل منحنى الدالة د باستخدام أحد البرامج الرسومية، قارن بين جدول تغيرات الدالة ومنحناها. ماذا تلاحظ؟ ### ٤ ### حاول أن تحل (
٣
أوجد القيم العظمى والصغرى المحلية للدالة د حيث د(س) = 1{2 - س مبيتاً نوعها ### ٢ تعلم

⚡

القيم القصوى لدالة على فترة مغلقة

📌 ٢ تعريف القيم القصوى: إذا كانت د دالة معرفة على الفترة المغلقة [١، ب] وكانت ج = (١، ب] (

١
د (ج) هي قيمة صغرى على الفترة [١، ب] عندما يكون د (ج) < د (س) لكل س = [١، ب] (
٢
د (ج) هي قيمة عظمى على الفترة [١، ب] عندما يكون د (ج) ≤ د (س) لكل س = [١، ب] - القيمة الصغرى والقيمة العظمى لدالة على فترة تسمى القيم القصوى للدالة على هذه الفترة. - القيمة القصوى يمكن أن تحدث عند أي نقطة داخل الفترة أو على حدود الفترة وعندما تحدث عند حدود الفترة تسمى نقطة حدية قصوى إذا كانت الدالة د متصلة على الفترة [١، ب] فإن للدالة د قيمة عظمى مطلقة وقيمة صغرى مطلقة على الفترة [١، ب]. كتاب الطالب - الصف الثالث الثانوي سلوك الدالة ودراسة المتحنيات لإيجاد القيم القصوى المطلقة للدالة د على الفترة المغلقة [أ، ب] نتبع المخطط المقابل كما يلي: - احسب د (أ)، د (ب)، وقيمة الدالة عند كل نقطة حرجة. - قارن بين القيم السابقة: أكبر هذه القيم هو قيمة عظمى مطلقة وأصغرها هو قيمة صغرى مطلقة. ### مثال أ أوجد القيم القصوى المطلقة للدالة د حيث د (س) = س⁻¹ (س) + ١٢، س ∈ [٣، ٣-١] ### الحل

📐

محتوى الدرس

✏️ حاول أن تحل

⚖️

مقارنة سريعة

🔹

دوال مثلثية

في بند فكر وناقش: توجد قيم عظمى محلية عند س = جم، س = جم، بينما توجد قيمة صغرى …

🔸

تعلم

مقارنة من كتاب الوزارة

💡 ملخص سريع

🔹 دوال مثلثية
🧬 تعلم
🧪 إذا كانت د دالة متصلة على [١، ب] وكانت للدالة د قيمة ع…
📐 ٣) قيم س التي تفصل بين فترات التزايد والتناقص للدالة…

🗺️

الدرس التالي تكامل الدوال الأسية واللوغاريتمية

درس «تكامل الدوال الأسية واللوغاريتمية» — شرح منظم من كتاب الوزارة للصف الثالث الثانوي (علوم). عكسية (التكامل غير المحد...

ابدأ ←